Inégalité des Accroissements Finis - Dérivabilité - 2 Bac SM - [Exercice 6]

Dans cette vidéo je vais traiter avec vous un exercice sur "la Dérivabilité" dans lequel on va appliquer l'inégalité des accroissement finis pour calculer la limite d'une suite numérique.
Cette vidéo est destinée aux étudiants 2ème année bac SM

💡N'oubliez pas qu'il est important d'essayer de travailler l'exercice avant de voir la correction.

▬▬▬▬▬▬▬ Exercice ▬▬▬▬▬▬▬

Exercice : (Al Moufid)
Soit f la fonction numérique définie sur I=[0,π/2] par ∶ f(x)=√(2/(1+sin⁡(x) ))
1)a) Montrer que ∶ (∀x∈I) f'(x)=-cos⁡x/(√2 (1+sin⁡x )^(3/2) )
b) Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique λ dans l'intervalle I
c) Montrer que ∶ (∀x∈I) |f'(x)|≤√2/2
2) On considère la suite numérique (Un ) définie par ∶ U0=0 et U(n+1)=f(Un ) pour tout n∈N
a) Vérifier que ∶ f(I)⊂I
b) Montrer que ∶ (∀n∈N) Un∈I
c) Montrer que ∶ (∀n∈N) |U(n+1)-λ|≤√2/2 |Un-λ| ,puis déterminer (lim)┬(n→+∞) Un



00:33 Énoncée de l'exercice
01:44 question 1)a)
09:20 question 1)b)
14:22 question 1)c)
18:17 question 2)a)
21:30 question 2)b)
23:47 question 2)c)

▬▬▬▬▬▬▬ BRANCHES CONCERNÉES ▬▬▬▬▬▬▬

2 bac Sciences Mathématiques
2 bac sm
bac biof
2 bac sciences math
terminal
examen national

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▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Récapitulatif de la vidéo▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• Nous allons apprendre comment étudier la dérivabilité d'une fonction composée et calculer sa dérivée.

• Application du théorème des accroissements finis et utilisation de la suite récurrente : U(n+1)=f(Un) pour démontrer une inégalité.

👉 Et vous pouvez consulter les autres vidéos de cette playlist, pour voir d'autres exercices sur les suites numériques et leurs applications.

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▬▬▬▬▬▬▬▬ MOTS-CLÉS ▬▬▬▬▬▬▬▬

#Dérivée #IAF #Suites
#Maths