【組合せ力養成】重複文字の配置問題：隣接禁止で数を出すコツ

#GOUKAKU #場合の数 #順列 #包除法 #入試対策

■ 問題
G, O, U, K, A, K, U の7文字を1列に並べる。
同じ文字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

■ ポイント（解法の方針）

・文字の出現数は K が2個，U が2個，その他は1個ずつ（計7文字）。まず制約なしの全順列を考える。
・隣り合う同字（KK または UU）がある並べ方を包除法で引く。具体的には「KKが隣接する配置の数」「UUが隣接する配置の数」を求め，両方が隣接する場合を足し引きする。
・「同字が隣り合う」を扱うときはその同字を1つの塊として扱う（内部順序は区別不要）。これで重複の扱いが簡単になる。

■ 途中式

制約なしの全並べ方の数（重複を考慮）
総数 = 7! ÷ (2! × 2!) = 5040 ÷ 4 = 1260

KK が隣り合う並べ方の数を数える（Kを1塊とする）
塊K, U, U, G, O, A の計6個（Uは2個で重複）
数 = 6! ÷ 2! = 720 ÷ 2 = 360

UU が隣り合う並べ方の数（Uを1塊とする、対称）
数 = 6! ÷ 2! = 360

KK と UU の両方が隣り合う場合（両方を塊にする）
塊K, 塊U, G, O, A の計5個（全て区別できる）
数 = 5! = 120

包除法で「少なくとも1組が隣接する」並べ方の数
= 360 + 360 − 120 = 600

よって「どちらの同字も隣り合わない」並べ方の数
= 総数 − 600 = 1260 − 600 = 660

■ 答え
660通り

■ 考え方メモ

・「塊にする（同字を1個として扱う）」発想と包除法の組合せは、重複文字で隣接禁止を扱う典型手法。
・各ステップで重複（同字の区別がないこと）を正しく割り算することがポイント。
・「KKのみ」「UUのみ」「両方」の順に数え上げるとミスが少ない。
・別解としては、まず一種類（例 K）を散らして配置し、その間に他を入れる方法も考えられるが、この問題では包除法が最も素直で速い。

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