Электрический поток, вывод закона Гаусса и использование закона Гаусса для нахождения электрическ...

00:00 В этом видео мы рассмотрим понятие электрического потока, выведем закон Гаусса и рассмотрим пример использования закона Гаусса для определения электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженной сферической оболочки.

🧠 Доступ к полным курсам физики с видеолекциями и примерами доступен на сайте https://www.zakslabphysics.com/

00:29 Вывод электрического потока для постоянного электрического поля и ориентации площади: мы вводим понятие электрического потока (числа линий поля, пронизывающих поверхность). Затем мы выводим формулу для электрического потока, когда электрическое поле однородно, а площадь имеет фиксированную ориентацию (другими словами, площадь плоская, поэтому вектор нормали всегда направлен в одном направлении).

03:10 Электрический поток через протяжённую поверхность: мы записываем формулу для электрического потока через бесконечно малый элемент площади dA, затем расширяем наше определение электрического потока на протяжённые поверхности, на которых электрическое поле и ориентация элементов площади dA могут изменяться. Итак, мы приходим к интегралу электрического потока: интегралу E dot dA.

04:18 Пример: интеграл электрического потока для точечного заряда, расположенного в центре сферической поверхности. Мы вычисляем электрический поток через сферическую поверхность с зарядом +q в центре. Этот интеграл даёт нам представление об основной идее закона Гаусса: скалярное произведение в интеграле тривиально, поскольку электрическое поле всегда перпендикулярно элементам площади (т.е. электрическое поле параллельно вектору нормали для каждого dA). Далее, величина электрического поля постоянна, поэтому мы можем вынести его за скобки. Мы можем вычислить полный электрический поток через сферу, и он оказывается равным q/epsilon_0.

05:58 Вывод закона Гаусса: исходя из результатов нашего первого расчёта потока (потока через сферическую оболочку с точечным зарядом в центре), мы делаем три обобщения, чтобы прийти к закону Гаусса: во-первых, размер сферической оболочки не имеет значения. Во-вторых, форма замкнутой поверхности не имеет значения: поток через замкнутую поверхность будет одинаковым независимо от формы и размера поверхности, а также от расположения заряда внутри неё. В-третьих, мы вычисляем поток через произвольную замкнутую поверхность, обусловленный распределением множества точечных зарядов, и получаем закон Гаусса: поток через любую замкнутую поверхность равен q_enc/epsilon_0, где q_enc — суммарный заряд, заключённый внутри поверхности.

11:30 Пример: использование закона Гаусса для нахождения электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженной сферической оболочки радиусом R и зарядом Q. Мы используем симметрию для применения закона Гаусса в нашем примере: выбираем гауссову поверхность, на которой электрическое поле перпендикулярно элементам площади и постоянно по величине. Поскольку задача обладает сферической симметрией, мы выбираем сферическую оболочку для нашей гауссовой поверхности. Скалярное произведение в интеграле потока тривиально, поскольку электрическое поле перпендикулярно элементам площади, и мы можем вынести E за скобки интеграла, поскольку величина электрического поля постоянна на гауссовой поверхности. Это означает, что оставшийся интеграл по поверхности равен площади гауссовой поверхности! Наконец, мы можем изолировать электрическое поле после применения закона Гаусса и обнаруживаем, что поле вне заряженной оболочки такое же, как если бы точечный заряд находился в центре оболочки, в то время как поле внутри оболочки равно нулю, поскольку для гауссовой поверхности внутри сферы замкнутый заряд равен нулю.