선형대수52✏️ 행렬곱 AB = C , 발상의 전환

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#선형대수 강의 #행렬곱 #matrix multiplication
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안녕하세요 피토스터디입니다

선형대수 52번 강의입니다 (vrew 자막은 썸네일에)
이번 강의에서는 행렬의 곱을 다시 공부합니다

왜냐하면 너무 쉬워서 어이없는 발상의 전환을 알게 되었기 때문입니다

기존의 수학교과서에서 행렬의 곱을 구하는

대표적인 3가지 경우가 있는데요

원소를 구하는 경우와

행벡터를 구하는 경우, 열벡터를 구하는 경우입니다

여기서 소문자 b_kj 를 쓰는 고정관념을 벗어나는 것입니다

어이없게도 너무 쉬운 방법인데요

행렬 A 와 B 의 순서를 바꾸지 않고
소문자를 쓰지 않는 것입니다

아주 단순한 내용이기 때문에 비교적 짧은 강의이고요

강의의 마지막에서 크레머의 공식을 다시 한번 살펴보겠습니다

수학 교과서에서 고정관념은요

행렬의 원소를 소문자 a 를 사용하는 것입니다

따라서 발상의 전환은 소문자를 쓰지 않는 것이겠죠

기존의 수학 교과서와 공통적으로
행벡터와 열벡터는 대문자와 아래 첨자, 위첨자를 사용합니다

이번 강의에서 오직 다른 점은 소문자를 사용하지 않는 것입니다


수학 교과서와 피터스터디의 방법에서

두 가지 방법을 비교하고 있습니다

수학 교과서에서 원소만큼은 소문자를 양보하지 않습니다

행벡터와 열벡터는 대문자를 사용하고요

행벡터에서는 아래 첨자, 열벡터에서는 위첨자를 사용합니다

두 가지 다른 점은 A 와 B 의 순서를 그대로 유지하고요

소문자를 쓰지 않는 것입니다

대문자로 통일하고, 따라서 summation 은 대각선 방향입니다

𝑖 행벡터와 𝑗 열벡터의 dot 프로덕트로 원소를 구하는데요

대각선 방향으로 summation 이 이루어집니다

행벡터인 경우에는 아래 첨자를 사용하고요
마찬가지로 대각선 방향으로 summation 이 일어납니다

기존의 교과서와는 달리
똑같이 대각선 방향으로 summation 이 일어나고요

𝑗 열벡터를 위첨자로 사용합니다

2 x 2 매트릭스에 대해서

대문자만을 사용하는 원소 표기로부터 행렬을 구하고요

열벡터를 기준으로 행렬을 다시 씁니다

summation 으로 나타낼 수 있습니다

이와 같이 대문자를 사용하는 것이고요

교과서대로 하면은 소문자를 사용합니다

그런데 두 번째 식에서
수학을 전공하지 않는 공학도 입장에서는, 이 수식이 어떤 뜻인지
파악하기가 상당히 어렵습니다

하지만 첫 번째 식은 대각선 방향으로 summation 이 일어나고요

𝑗 열벡터라는 것이 아주 명백합니다

여러 번 이야기한 것처럼 너무 어이가 없는 단순한 내용입니다

행렬의 곱해서 가장 기초적인 응용인 연립방정식입니다

행렬 A 와 열벡터의 곱인데요

summation 형태로 나타냈구요

보통 크래머의 공식에서 𝑥_𝑘 솔루션을 구할 수 있습니다

2 x 2 행렬에 대해서 𝑥_1, 𝑥_2 를 구해 볼까요?

주어진 소스 벡터 𝐛 벡터에 대해서 𝑥_1 은 2 가 되고요

𝑥_2 는 3이 됩니다

이것을 행벡터 입장에서 보면요

두 직선이 만나는 점이 solution 벡터이고요

그런데 이러한 크래머의 공식은
단순한 계산이고 무언가 메마른 느낌입니다

하지만 행렬의 곱에서 summation 을 제외한 하나의 항을 보면요

이것은 피토스터디의 pa-pa 공식입니다

방정식에서 𝑥_𝑘 를 구하는 것이 목적이 아니고

A^𝑘 열벡터와 𝑥_𝑘 의 곱을 중요시합니다

예를 들어서 A^1 벡터를 2 배하는 것이 𝑥_1 = 2 라는 뜻이고요
A^2 벡터를 3 배 하는 것이 𝑥_2 의 역할입니다

따라서 전체 벡터를 연필과 우산으로 나타내면요

이것은 피터스터디의 pa-pa 공식에서 구할 수 있는 해가 됩니다

크래머의 공식에서 양변에 𝑘 번째 열벡터를 곱한 것이고요
이렇게 쓰게 되면 solution 벡터의 기하학적인 의미가
상당히 뚜렷하게 나타납니다

이번 강의의 내용은 이미 알고 있는 행렬의 곱에 대한 것이지만

새로운 관점에서

행렬의 곱을 설명할 수 있다는 것을 알아보았습니다