Параметрические поверхности r(u,v), многомерное исчисление

Поверхность двумерна, поэтому для её параметризации нам нужны два параметра (обычно u и v). Существует несколько примеров параметризации r(u, v), а также областей определения u и v. Примеры включают полярные координаты. Многомерный исчисление, Модуль 3, Лекция 4.

Цель — создать описания, подходящие для применения в исчислении. Важное примечание:
Кривые: будучи одномерными, кривые требуют только одного параметра, обычно обозначаемого как 𝑡.
Поверхности: как двумерные объекты, поверхности требуют двух параметров для полного описания. Обычно мы используем 𝑢 и 𝑣 в качестве этих параметров. Примеры параметризации поверхности

1. Седловая поверхность 𝑧=𝑥𝑦:
Параметризация: 𝑟⃗ (𝑢,𝑣)=(𝑢,𝑣,𝑢𝑣), где 𝑢 и 𝑣 — действительные числа.
Эта параметризация отражает суть седловой поверхности, где 𝑧 — произведение 𝑥 и 𝑦.

Другие примеры:
2. Верхняя полусфера (в двух направлениях)
3. Плоскости
4. Круговой цилиндр 𝑥^2+𝑧^2=1, где 𝑟⃗ (𝑢,𝑣)=(cos(𝑢),𝑣,sin(𝑢)), где 𝑢 лежит в диапазоне от 0 до 2𝜋, а 𝑣 — любое действительное число.
5. Параболоид 𝑧=𝑥^2+𝑦^2 над единичным кругом

#calculus #multivariablecalculus #mathematics #parametricsurfaces #iitjammathematics #calculus3