المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد

رياضيات صف ثالث ثانوي الترم الثاني
رياضيات 2-3
حل المتجهات بالالة الحاسبة
Vectors in Three-Dimensional Space By calculator
المستوى الإحداثي: هو نظام إحداثي ثنائي
َّ الأبعاد يتشكل بواسطة خطي أعداد متعامدين، هما المحور xوالمحور ، yاللذان يتقاطعان في
ٍ نقطة تسمى نقطة الأصل. ويسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى، وتحتاج
إلى نظام الإح داثيات الثلاثي الأبعاد؛ ٍ لتعيين نقطة في الفضاء، فنبدأ بالمستوى ، xyونضعه
ُ بصورة تظهر عمقًا للشكل كما في الشكل ً ،1.4.1ثم نضيف محور ً ا ثالث ُ ا ي َّ سمى المحور z
يمر بنقطة الأصل، ًّ ويعامد كلا من المحورين y، xكما في الشكل .1.4.2فيكون لدينا ثلاثة
مستويات هي ، xy, yz, xzوتقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثماني مناطق، ُي َّ سم ٌّ ى كل منها
ُّ الث ُمن ، ويمكن تمثيل ُّ الث ُمن الأول بجزء الحجرة في الشكل
ُتمثل النقطة في الفضاء بثلاث يات مرتبة من الأعداد الحقيقية ) ،(x, y, zولتعيين مثل هذه النقطة، ّ عي ً ن أولا النقطة
) (x, yفي المستوى ، x yثم تحرك لأعلى، ً أو إلى أسفل موازيا للمحور ، zُ بحسب المسافة المتجهة التي ي ّ مثلها .
تعيين نقطة في الفضاء الثلاثي الابعاد
ِّ عين كلا من النقطتين الآتيتين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:
عملية إيجاد المسافة بين نقطتين، وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء تشبهان عملية إيجاد المسافة، ونقطة
منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي
المسافة بين نقطتين في الفضاء
ايجاد نقطة المنتصف في الفضاء
تتحرك العربة في الشكل المجاور على
سلسلة مشدودة، َّ تربط بين منصتين تسمح للمتنزهين
ُ بالمرور فوق مناظر طبيعية خلابة. إذا مثلت المنصتان
بالنقطتين: ) ،(70, 92 , 30) , (10, 12, 50وكانت
الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي:
)aَّ أوجد طول السلسلة اللازمة للربط بين المنص َتين
ٍ إلى أقرب قدم
تفرض أنظمة السلامة ألا تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5 miفي أثناء طيرانها، إذا علمت أن
طائرتين تطيران فوق إحدى المناطق، ٍ وفي لحظة ٍ معينة ِ كانت إحداثيات موق َعي الطائرتين:
) ،(300, 150, 30000) , (450, -250, 28000مع العلم بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي:
)Aهل تخالف الطائرتان أنظمة السلامة؟
)Bٌ إذا أطلقت ألعاب ٌ نارية، وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين، فما إحداثيات نقطة الانفجار؟
ٌ إرشاد: الميل = 5280ً قدما
المتجهات في الفضاء
إذا كان ً vمتجها في الفضاء في وضع قياسي، وكانت ) ( v1, v2 , v3نقطة نهايته، ّ فإننا نعبر
عنه بالصورة الإحداثية 〉 〈v1 , v2 , v3ُ ،كما ي ّ عبر عن المتجه الصفري بالصورة الإحداثية 〉، 0 = 〈0, 0, 0
وعن متجهات الوحدة القياسية بالصورة الإحداثية 〉 ، i = 〈1, 0, 0〉, j = 〈0, 1, 0〉, k = 〈0, 0, 1كما في
الشكل ، 1.4.4ويمكن التعبير عن الصورة الإحداثية للمتجه vعلى صورة توافق خطي لمتجهات الوحدة i, j, k
. 〈v1, v2, v3〉 = v1i + v2j + v3 k :كم
تعيين متجة في الفضاء
ِّ مثل بيانيا كلا من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:
مثل بيانيا كلا من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:
إذا كتبت المتجهات في الفضاء على الصورة الإحداثية، فإنه يمكن أن تجرى عليها عمليات الجمع، والطرح ،
والضرب في عدد حقيقي كما هي الحال في المتجهات في المستوى الإحداثي
العمليات علي المتجهات في الفضاء
ًّا أوجد كلا مما يأتي للمتجهات:〉 : y = 〈 3 , -6 , 2 〉, w = 〈 -1 , 4 , -4 〉, z = 〈 -2 , 0 , 5

ًّا أوجد كلا مما يأتي للمتجهات:〉 : y = 〈 3 , -6 , 2 〉, w = 〈 -1 , 4 , -4 〉 , z = 〈 -2 , 0 , 5
وكما في المتجهات ذات البعدين، نجد الصورة الإحداثية للمتجهAB
الذي نقطة بدايته ) A(x1 , y1 , z1ونقطة نهايته ) ، B( x2 , y2 , z2وذلك
بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية.
AB = 〈 x2 - x1 , y2 - y1, z2 - z1 〉
، |AB | = √ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + ( z2 - z1)2 :وعندها يكون
وهذا يعني أنه إذا كان: 〉 ، AB  = 〈a1 , a2 , a3فإن:
|AB | = √ a12 + a2 2 + a3 2
u =
AB 
_ |
ويكون متجه الوحدة uباتجاه AB هو

التعبير عن المتجهات في الفضاء جبريا
أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB الذي نقطة بدايته ) ، A ( -4 , -2 , 1ونقطة نهايته ) ، B ( 3 , 6 , -6
ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه . A
أوجد الصورة الإحداثية، وطول ُ AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته ، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه ٍّ AB في كل مما يأتي:
A (-1 , 4 , 6) , B ( 3 , 3 , 8 ) )5B A (-2 , -5 , -5 ) , B( -1 , 4 , -2 ) )5A