Résolution complète de l'équation diophantienne x² + y² = 289 | Méthode + Solutions entières

Les triplets pythagoriciens sont des solutions entières de l’équation diophantienne non linéaire :

x^2 + y^2 = z^2

On les appelle ainsi car ils correspondent aux longueurs des côtés d’un triangle rectangle.

🎯 Objectif :

Trouver toutes les solutions entières positives de :

x^2 + y^2 = z^2

✅ Résolution générale (méthode classique)

On distingue deux types de triplets :

Les triplets primitifs : tels que ,

Les multiples des primitifs.

🔧 1. Formule générale des triplets primitifs :

Tout triplet primitif peut être généré par la formule :

\boxed{ \begin{cases} x = m^2 - n^2 \\ y = 2mn \\ z = m^2 + n^2 \end{cases} } \quad \text{ou bien} \quad \begin{cases} x = 2mn \\ y = m^2 - n^2 \\ z = m^2 + n^2 \end{cases}

avec :

,

,

et de parité opposée (l’un pair, l’autre impair),

📌 Exemple :

Prenons ,

x = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \\ y = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \\ z = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \quad \Rightarrow \quad (x, y, z) = (5, 12, 13)

Et en effet :

5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2

🔄 2. Tous les triplets (primitifs ou non)

On obtient tous les triplets pythagoriciens en multipliant les primitifs par un entier :

\boxed{ (kx, ky, kz) }

Donc :
(10, 24, 26) = 2 \cdot (5, 12, 13) \quad \text{est aussi un triplet pythagoricien.}

🧠 En résumé : #analyse #énigmemathématique #cercle #fonctionrationnelle #intégrale #intégrales #logique

Tous les triplets entiers positifs qui vérifient sont soit :

générés par la formule de Euclide pour les primitifs,

soit des multiples de ces triplets primitifs.