Математический анализ 3. Лекция 8 // Максим Казарян

Лекции в НМУ, осенний семестр 2016-2017.
Казарян Максим Эдуардович — доктор физико-математических наук.

Программа семестра:
1. Кривые в R^n. Интеграл по кривой. Замена переменных в интеграле. Поведение интеграла при замене пути интегрирования.
2. Многообразия. Подмногообразия в R^n. Абстрактные многообразия. Локальные координаты. Атласы и карты. Функции перехода. Гладкие отображения многообразий.
3. Касательный вектор. Вектор как скорость движения по кривой. Координаты вектора и их преобразование при заменах. Производная функции по направлению. Дифференцирование кольца функций. Касательная плоскость к многообразию в точке. Производная отображения. Цепное правило.
4. Векторные поля. Фазовая кривая и фазовый поток. Поля и обыкновенные дифференциальные уравнения. Выпрямление векторного поля. Коммутатор векторных полей и коммутирование фазовых потоков. Теорема Фробениуса об интегрируемых распределениях.
5. Дифференциальные формы на многообразиях. Дифференциал функции. Внешнее произведение дифференциальных форм. Форма объема, форма площади и форма Гельфанда-Лере. Внешний дифференциал формы. Преобразование форм при отображениях.
6. Интегрирование дифференциальных форм. Ориентация. Инвариантность интеграла при диффеоморфизме. Многообразия с краем. Формула Стокса.
7. Производная Ли. Коммутатор векторных полей как производная Ли. Тождество Картана.
8. Лемма Пуанкаре. Когомологии де Рама.
9. Дифференциальные формы в векторном анализе и математической физике. Формы в R^3 и инвариантный смысл градиента, ротора, дивергенции, потока векторного поля, циркуляции. Формы в R^4 и уравнения Максвелла.
10. Гармонические функции. Теорема о среднем. Принцип максимума.