Метод оптимизации Гессе с ограничением для условия 2-го порядка функции полезности с ограничением

Граница Гессе — это матричный метод оптимизации целевой функции f(x, y) с двумя факторами. Слово «оптимизация» здесь используется, поскольку в реальной жизни всегда существуют ограничения (контрсекции), которые необходимо учитывать, и мы должны максимизировать (если это функция выпуска или полезности) или минимизировать (если это функция затрат) её относительно этих ограничений.

Итак, в этом видео мы построим математический пример вывода максимизации полезности от потребления двух товаров x и y с ограничением на общий доступный доход (M) и цены этих товаров (p1) для товара x и (p2) для товара y с параллельным решением.

Итак, как рациональные люди, мы хотим получить как можно больше полезности от потребления x и y, но наши ресурсы ограничены, поэтому мы постараемся максимизировать полезность от наших ограниченных ресурсов.

Макс. f(x,y) при условии g(x,y) = M

Полезность (целевая функция) = U = u(x,y) = 2xy

2xy означает, что оба товара являются для нас взаимодополняющими. Это можно представить так: если мы не покупаем x (x = 0), то общая функция полезности также становится равной нулю. Коэффициент 2 показывает, что для каждой пары x и y (то есть x = 1 и y = 1, x = 2 и y = 2) мы получаем вдвое больше полезности от каждой пары с более высоким значением. Эта спецификация функции полезности является мнимой, поскольку полезность невозможно измерить в реальности, но все согласны с тем, что для каждого человека эта функция может быть разной.
Бюджет (ограничение) = I = g(x,y), I = p1x + p2y, θ = 3x + 4y

Кроме того, у нас есть бюджетное ограничение, здесь нет ничего мнимого, поскольку доход можно измерить, а цены на товары x и y также измеряются на рынке. В следующей таблице показано параллельное решение гессиана с границей, где слева — математический вывод, а справа — решение примера со значениями.
Решение этих уравнений даёт значения x и y, которые оптимизируют функцию Лагранжа. Оптимизация означает, что в пределах общего дохода и заданных цен мы можем получить максимум x единиц товара x и y единиц товара y.

А значение λ будет представлять собой скрытую стоимость; оно показывает, насколько увеличится целевая ценность (полезность) при увеличении бюджета (ресурсов) на одну единицу.

Но оптимизация не означает, что полезность достигла своего максимума или минимума, она лишь показывает, что мы можем позволить себе x и y единиц товара при данном доходе и ценах.

Теперь определитель гессиана с границами

Рассмотрим модель с двумя переменными x, y и одним ограничением, так что гессиан будет иметь порядок 3×3, а все его компоненты будут вторыми производными функций, определенных выше.

Это просто простой гессиан
Fxx Fxy
Fyx Fyy
ограниченный первыми производными ограничения с нулем на главной диагонали. Порядок ограниченного главного минора определяется порядком ограниченного главного минора. Следовательно, H выше представляет собой второй ограниченный главный минор H2, поскольку ограниченный главный минор имеет размер 2×2.

Если все главные миноры отрицательны, ограниченный гессиан
отрицательно определен, а отрицательно определенный гессиан всегда удовлетворяет достаточному условию относительного максимума.
#ОграниченныйГессиан #оптимизация