Matematica (29) : Integrazione per parti e sostituzione / Nettuno

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L'idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o dell'area sottesa al segmento di un ramo di parabola, detto metodo di esaustione, già proposta da Eudosso di Cnido.

Nel XVII secolo alcuni matematici trovarono altri metodi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, tra di essi figurano, ad esempio, Luca Valerio, Bonaventura Cavalieri, (che scoprì il metodo degli indivisibili negli anni 1640), Pierre de Fermat (1636), Evangelista Torricelli (1658) e Nicolaus Mercator (1668). In quegli stessi anni Pietro Mengoli (1659) diede una prima definizione di integrale.

Nel diciassettesimo e diciottesimo secolo Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli dimostrarono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ricondusse tale problema alla ricerca della primitiva di una funzione.

La definizione di integrale per le funzioni continue in un intervallo venne inizialmente formulata da Augustin-Louis Cauchy, che a partire dal lavoro di Mengoli, descrisse l'integrale utilizzando la definizione di limite. In seguito Bernhard Riemann propose la sua definizione, in modo da comprendere classi più estese di funzioni. Nel 1875, Gaston Darboux riformulò la definizione già individuata da Cauchy in modo da evitare l'uso di limiti e dimostrando che era del tutto equivalente alla definizione data da Riemann. Per questo motivo spesso si parla di integrale di Riemann-Darboux. Allo scopo di comprendere una classe molto più estesa di funzioni, Henri Lebesgue produsse una definizione di integrale più complessa, attraverso l'introduzione della teoria della misura. In seguito Thomas Stieltjes fu in grado di generalizzare l'integrale di Riemann introducendo il concetto di funzione integratrice e, con un procedimento del tutto analogo, Johann Radon generalizzò l'integrale di Lebesgue. Una definizione d'integrale alternativa a quella di Lebesgue-Radon venne fornita da Percy J. Daniell, che la ricavò a partire dall'integrale di Riemann-Stieltjes.