坂内研究室 整数論の問題を幾何学的な直感を使って解く数論幾何の世界

慶應義塾大学理工学部数理科学科 坂内研究室では数学の中でも整数の性質を解き明かす整数論についての研究をおこなっております。「数学の女王」と呼ばれる整数論の中でも、坂内研究所では数論幾何を中心に研究を進めています。
数論幾何は代数幾何学の手法や結果を利用し、単純に数式を扱うだけではなく、代数方程式で与えられた図形の幾何学的性質から、もとの代数方程式の整数論的な性質を調べようとする分野です。

Q. "人間には論理と直感という二つ、物事を捉える要素があるんですけど、論理というのは式をきっちり計算するということ。幾何学的な直感というのは図形とかを見て、『図形的にこれは正しい』とか、そういうところからそもそも来ていると思います。
これをどう整数論の問題に応用するかと言いますと、例えば x²+y²＝1という円を考えたとき、その円上に有理数の座標となるような点はどれくらいあるかとか、有理数の座標の点を求める問題は整数論の問題なんですけど、それを円の性質からどれくらい導けるか、ということです。
直感という言葉を使っているのは、単に x²+y²＝1という式を見るのではなくて、それは円だ、という幾何学的な図形と思うと、より問題が解きやすくなるのです"

300年前から多くの数学者を悩ませ続けてきた有名なフェルマーの最終定理も、1995年にアンドリューワイルスが数論幾何的な手法を用いて解くことに成功しました。この様な整数論は応用という面においても、今日暗号理論等に用いられ情報化社会において重要な役割を担っています。

Q. "整数論て整数の話なので1、2、3とかいう話なので、最初聞くとすごく狭いというか広がりがないように感じてしまうかもしれないけど、そんなことはないのです。
私自身も整数論ってすごくマニアックなことやるのかなって思って数学はやりたいけど整数論はやりたくないとか思ってはいたんですけど、あるとき整数論の問題が例えば気幾何学図形や幾何の問題と結びついたりいろいろ特殊なL関数とかデータ関数とかいろんな関数が出てくるので、解析の問題と結びついたとかそういうことで、整数って非常に基本的なものなので基本的であるだけにありとあらゆるものと結びついてしまうというところで、そこが整数論の面白さだと思います。表面的な問題ではなくて、数学の最先端のいろんな理論を使えたり関係しているというところが面白さだと思います"

文明の黎明期より、事象を数に置き換え抽象化する事により広く応用を可能としてきた数学の世界。坂内研究室では目で表すことはできない物事の基本的な構造を論理や直感で捉えるべく、今後も更なる研究を進めていきます。