Matematyka Trygonometria Tego W szkole Ci Nie Powiedzą

Trygonometria Tego Nauczyciel Ci Nie Powie. Skąd się to wzięło i z czego wynika.

Odnośnik do wspomnianych w filmie nagrań.
3 Odcinek
   • Trygonometria i Zmiany w Definicjach Funkc...  
1. odcinek trygonometrii
   • Będą Zmiany w Książkach  - Trygonometria  
Algorytm obliczania pierwiastka pisemnie.
   • Pierwiastek Trzeciego Stopnia Pisemnie - B...  


Obliczył funkcje trygonometryczne dla drugiego kąta ostrego w tym trójkącie uzyskując.
Następnie napisał twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta.
Przy okazji wprowadził nowy sposób oznaczenia kwadratów funkcji trygonometrycznych.
To już go bardziej zaciekawiło, bo wzór wynikała w zasadzie z tw. Pitagorasa pomyślał ciekawe.
Nie wiedział jeszcze do czego będzie mu ten wzór potrzebny, ale zapisał sobie je sumienie w swoim notatniczku wniosków.
Ten wzór tak mu się spodobał, iż nazwał go jedynką trygonometryczną. Chciał poznać więcej wzorów jednak przez dłużą chwile niczego szczególnego nie mógł znaleźć.
Zmienił wówczas kierunek swoich poszukiwań.
Uznał, że warto by było poznać kilka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów.
Wziął sobie trójkąt prostokąty o kątach 45\degre, 45\degre, 90\degre, czyli taki, który powstaje po dorysowaniu w kwadracie przekątnej.
Pomyślał, że ten trójkąt był zbył "łatwy" i zaraz do głowy wpadł mu trójkąt równoboczny z wysokością. Tak miał do dyspozycji trójkąt o kątach. 30\degre, 60\degre, 90\degre.
Chcąc poznać wartości $\sin$ $\cos$ $\tg$ dla kątów $30\degre$ i $60\degre$ szybko wykonał rachunki $\sin 30\degre$ $\sin 60\degre$ $\cos 30\degre$ $\cos 60\degre$ $\tg 30\degre$ $\tg 60\degre$.
Okej mam dla 3 kątów obliczone funkcje. Sporządził sobie tabelkę podsumowująca, wraz z przybliżeniami.
Zaznaczył owe punkty na wykresach dla poszczególnych funkcji.
Teraz w jego głowie pojawiło się pytanie. Jak wygląda kształt tych funkcji? Miał za mało punktów, aby go dojrzeć.
Odpowiedź na pytanie bardzo go ciekawiła. Jedne co widział, że nie jest to linia prosta.
Zastanawiał się skąd jeszcze może wyliczyć jakieś kąty. Myślał myślał i w końcu wymyślił.
Wtedy sobie przypomniał, iż kiedyś analizował pięciokąt foremny i pojawiały się tam kąty 18\degre, 36\degre, 54\degre, 72\degre. Chciał się bardzo dowiedzieć jakie są wartości dla takich kątów funkcji trygonometrycznych.
Brakowało mu jeszcze kąta prostego, więc dorysował wysokość do tej podstawy. Tak miał trójkąt prostokąty o kątach 18\degre, 72\degre, 90\degre. Teraz aby móc wyliczyć wartości tych funkcji muszę znaleźć sposób na wyrażenie dwóch boków pozostałym.
Jak mogę to zrobić? Co jest potrzebne długo zmagał się z tym problem, aż w końcu znalazł sposób.
Mógł dorysować punkty dla kątów 18\degre, 36\degre, 54\degre, 72\degre.
Zaczął się bawić wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów, które już znał. W pewnym momencie pomnoży $\sin 30\degre$ z $\cos 30\degre$. jakimś dziwny zbiegiem okoliczności zauważył, iż jest to $\frac{1}{2}\sin 60\degre$.
$$2\cdot \sin 30\degre \cdot \cos 30\degre = \sin 60\degre.$$
Zaciekawiony postawił, więc pytanie czy to tylko tak dla kąta 30\degre czy może dla dowolnego kąta też będzie okej?
Tu przez długi czas nie potrafił ani tego uzasadnić ani tego obalić, a jednocześnie nie dawało mu to spokoju i nie mógł przez to spać w nocy, aż któregoś ranka w końcu się udało.
Skoro miał uzasadnienie wzoru na $\sin 2x$ to zadał sobie pytanie czy jest podobny wzór na $\cos 2x$.
Po czym szybko wrócił do swojego rysunku i zaczął wypisywać zależności i szybko znalazł wzór, który o dziwo był nie podobny do poprzedniego.
Zaczął się zastanawiać do czego może przydać się taki wzór i wtedy pojawił się ten błysk w oku, olśniło go, że dzięki tym wzorom może obliczyć połowy kąta jeśli zna kosinus kąta podwójnego.
Podekscytowany i mając ten genialny plan zabrał się natychmiast do wyliczenia $\sin 15\degre$ Wykorzystał kosinus podwójnego kąta oraz swoją jedynkę trygonometryczną.
Zaczął więc potem bez opamiętywania wyliczać kolejne wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $15\degre$, $75\degre$, $9\degre$, $81\degre$, $22,5\degre$ itd.
Punktów zrobiło się już dużo i zaczął wyłaniać się kształt funkcji trygonometrycznych.
W między czasie Marek odkrył nowy wzór. Będący uogólnieniem sinusa podwójnego $\sin (\alpha+\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$.
Wzór na sinusa sumy dwóch różnych kątów $\sin(\alpha+\beta)=?$.
Teraz mógł wyliczać funkcje dla innych kątów np.

Wersja na blogu:
http://www.kowalskimateusz.pl/matemat...

Mateusz Kowalski
Autor Wideo Bloga Matematycznego
http://www.kowalskimateusz.pl