対称式の裏ワザ：a+b+c=0 で多項式が一瞬で決まる（慶應志木レベル）

#慶應志木 #対称式 #入試数学 #代数トリック #受験数学 #abc #式の変形

■ 問題
a + b + c = 0、abc = 2021 のとき、
(ab + ca)(ca + bc)(bc + ab) の値を求めよ。

■ ポイント
・a+b+c=0 のときは b+c = −a, c+a = −b, a+b = −c が使える。
・各かっこの中身を a や b の二乗にまとめられる（次数下げ）。
・最後は abc に関する単純な式になる。

■ 解法

b + c = −a, c + a = −b, a + b = −c（a + b + c = 0 より）

各因子を a, b, c を使って書き換える：
ab + ca = a(b + c) = a(−a) = −a²
ca + bc = c(a + b) = c(−c) = −c²
bc + ab = b(c + a) = b(−b) = −b²

よって求める積は
(ab + ca)(ca + bc)(bc + ab)
= (−a²)(−b²)(−c²)
= (−1)³ a² b² c²
= − (abc)²

abc = 2021 より、
(ab + ca)(ca + bc)(bc + ab) = −2021²

2021² を計算すると
2021² = 4,084,441


■ 一言メモ
「和が 0」のときは「b+c = −a」と置くクセをつけると、多くの対称式が一瞬で整理できます。簡潔でミスの少ない解法です。

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