Somme des k² : Démonstration

Pour montrer par récurrence que la somme des carrés des n premiers entiers naturels suit une certaine formule, on procède en plusieurs étapes claires. L'idée de la récurrence est de vérifier que la formule fonctionne pour un cas de base, puis de montrer que si elle est vraie pour un certain nombre, elle l'est aussi pour le suivant. D'abord, on commence avec le cas de base. On prend le plus petit nombre possible, souvent n=1. On calcule la somme des carrés pour n=1, c'est-à-dire 1², ce qui donne 1. Ensuite, on vérifie si la formule qu'on veut prouver donne aussi 1 pour n=1. Si c'est le cas, le cas de base est validé. Ensuite, on passe à l'hypothèse de récurrence. On suppose que la formule est vraie pour un certain nombre n, c'est-à-dire que la somme des carrés de 1 à n donne le résultat prévu par la formule. Cette supposition est appelée l'hypothèse de récurrence. Puis, on fait l'étape de récurrence. On veut montrer que si la formule est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1. Pour cela, on considère la somme des carrés de 1 à n+1. Cette somme est égale à la somme des carrés de 1 à n (que l'on suppose correcte grâce à l'hypothèse) plus le carré de n+1, c'est-à-dire (n+1)². On additionne ces deux parties et on manipule l'expression pour voir si elle correspond à ce que donne la formule lorsqu'on remplace n par n+1. Si l'égalité tient, l'étape de récurrence est validée. Enfin, on conclut. Puisque la formule est vraie pour n=1 (cas de base) et que si elle est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 (étape de récurrence), alors elle est vraie pour tout entier naturel n. Cette méthode repose sur un raisonnement en chaîne : on commence par un point de départ, et on montre que chaque étape mène à la suivante, ce qui garantit que la formule fonctionne pour tous les nombres.