Programa de Mestrado: Equações Dif. Parciais - Aula 03 - Convolução e aproximações da identidade

Programa de Mestrado: Equações Diferenciais Parciais

Aula 03 - Convolução e aproximações da identidade

Emanuel Carneiro

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Pré-requisitos: Análise no Rn, Medida e Integração

A equação geral de primeira ordem para uma função de duas variáveis e o problema de Cauchy associado. Sugestões de tópicos adicionais: Introdução ao problema de Cauchy para equações de evoluções não lineares. Classificação de equação de segunda ordem em duas variáveis independentes. Problemas com condições de contorno e/ou condições iniciais. Problemas bem-postos. Exemplos. O método de separação de variáveis e o problema de condução de calor em uma barra finita. Séries de Fourier em senos e co-senos e na forma complexa. Convergência pontual. Relações entre a diferenciabilidade e a transformada de Fourier. Convergência uniforme. Aplicações aos problemas de condução de calor em uma barra, da corda vibrante finita e de Dirichlet no retângulo. Aproximação por convolução e aplicações (teorema de Fejer e o problema de Dirichlet no disco unitário). Distribuições periódicas. O espaço L2[- π,π ], como subespaço das distribuições periódicas. Noções de espaços de Hilbert. Aplicações às equações de calor, onda, Poisson e Schröndinger. Equações lineares e quase-lineares de primeira ordem. Método das características. O problema de Cauchy para a equação quase-linear. A equação de Korteweg-de Vries nos espaços de Sobolev do círculo. Separação de variáveis e o problema de valor inicial para a equação de calor na reta. A transformada de Fourier em R. A fórmula de inversão. O espaço de Schwartz e a transformada de Fourier. Distribuições temperadas. Os espaços L2(R). Aplicações às equações de calor, onda, Poisson e Schrödinger.

Referências:
EVANS, L. C. - Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, 19, AMS, 1998.
FIGUEIREDO, D.G. - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1977.
GUSTAFSON, K. - Introduction to Partial Differential Equations and Hilbert space methods, New York, Wiley, 1980.
IÓRIO JR., R., IÓRIO, V. - Equações Diferenciais Parciais, uma introdução. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1988.
JOHN, F. - Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Third edition, 1978.
SOBOLEV, S. L. - Partial Differential Equations of Mathematical Physics. Reading Mass., Addison-Wesley, 1964.

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