Cos'è una varietà differenziabile?

Ho anche una newsletter settimanale, i precedenti post li trovi gratuitamente qui : https://mathonelist.substack.com/ Per ripetizioni a livello universitario o di scuole superiori scrivimi a [email protected] Cos'è una varietà geometrica? Cos'è una varietà topologica? E una varietà differenziabile? A queste domande troverai risposta nel video, che è lunghetto ma vedremo la definizione di varietà, detto MANIFOLD in inglese e anche qualche riferimento ad esempi che di sicuro conosci.

Infatti le varietà, oggetti fondamentali della geometria differenziale, permettono di estendere le classiche tecniche del calcolo e dell'analisi più in generale su spazi più astratti dello spazio euclideo. Infatti queste varietà sono spazi solo LOCALMENTE EUCLIDEi, ovvero spazi che vicino ad ogni loro punto sono simili ad un piano, allo spazio o in cenerale ad R^n.

Sono strumenti geometrici anche alla base di un approccio più moderno ai sistemi dinamici, dove tutto si basa sulla definizione di un campo vettoriale regolare sulla varietà e poi, in base ai particolari interessi, si analizza la dinamica su esse, spesso con tecniche geometriche.

L'idea importante in questo contesto è quello di descrivere ciò che succede sulla varietà, su questo oggetto astratto senza far riferimento allo spazio ambiente, alla scatola (spazio euclideo) che lo contiene.

Infatti esiste sempre un numero n naturale tale che R^n contiene la varietà (teorema di immersione di Whitney), però a priori la dimensione di questo spazio non si sa e potrebbe essere scomodamente grande.

Ecco che quindi anche per studiare la teoria della relatività generale si lavora sulle varietà però senza far riferimento agli spazi euclidei che le contengono, ma solo definendo "implicitamente" o "intrinsecamente" le sue proprietà e oggetti, come per esempio i vettori tangenti.
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