Le théorème de Riemann-Roch (Vers La Géométrie Algébrique -- Épisode V)

Voici l'épisode V de ma série "Vers la géométrie algébrique", les autres épisodes sont disponibles ici :

Episode I -- Les courbes planes :    • Les courbes planes (Vers La Géométrie Algé...  
Episode II -- La géométrie projective :    • La géométrie Projective (Vers La Géométrie...  
Episode III -- Les complexes entrent en scène :    • Les complexes entrent en scène (Vers La Gé...  
Episode IV -- Genre et différentielles :    • Genre et différentielles (Vers La Géométri...  
Episode V -- Théorème de Riemann-Roch :    • Le théorème de Riemann-Roch (Vers La Géomé...  
Episode VI -- :

Dans cet épisode, je présente le théorème de Riemann-Roch, qui est central en géométrie algébrique. On regarde comment compter le nombre de fonctions sur les surfaces de Riemann ou les courbes algébriques, avec des zéros et des pôles donnés. Les applications sont nombreuses, et on en verra dans la prochaine vidéo. En attendant, on trouvera ici une preuve presque complète du théorème.


Notes prises pendant la vidéo : http://www.antoinebourget.org/attachm...

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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee.

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Plan
00:00 Début
3:50 Introduction sur les polynômes de degré n
17:30 Théorème de Riemann-Roch sur la sphère
51:40 Vers la généralisation : Surfaces de Riemann
1:01:35 Courbes algébriques
1:10:10 FAQ sur les courbes
1:20:31 Zéros et pôles des fonctions et des formes
1:27:20 Diviseurs et groupe de Picard
1:50:55 Espaces L(D) et inégalité de Riemann
1:58:11 Formes et Diviseurs canoniques
2:08:11 Théorème de Riemann-Roch
2:20:50 Application : unicité de la courbe de genre 0
2:25:40 Idée de la preuve
2:52:00 Conclusion


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Références :
Un bon cours assez élémentaire sur le sujet est le livre "Algebraic Curves" de Maxim E. Kazaryan · Sergei K. Lando Victor V. Prasolov
Un autre dans le même style est "An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces" de Martin Schlichenmaier.
Une référence avec une preuve intuitive de Riemann-Roch est "Baby's first Riemann-Roch" par R. Gregoric.