"Sur les conjectures de Gan-Gross-Prasad pour les groupes unitaires." par Raphaël Beuzart Plessis

Les conjectures de Gan-Gross-Prasad concernent deux thèmes entrelacés. D'une part, elles étendent certaines lois de branchement en théorie des représentations pour des groupes de Lie classiques (orthogonaux, unitaires ou symplectiques) à un cadre non-compact et/ou p-adique. D'autre part, elles prédisent des relations entre les valeurs centrales de certaines fonctions L et des intégrales sur des sous-groupes (appelées "périodes") de fonctions spéciales (des formes automorphes). Ce dernier aspect mène à une généralisation en rang supérieur d'une formule de Waldspurger pour les périodes sur les tores de GL(2) qui est à la base d'un certain nombre de résultats marquants en théorie des nombres (par exemple certains résultats en direction de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer). Cet exposé se veut une introduction accessible à ces conjectures. Partant de la théorie des harmoniques sphériques et la question de l'équirépartition de points à coordonnées rationnelles sur la sphère de dimension 2, je tâcherai d'expliquer comment une reformulation en termes "automorphes" permet de relier ces deux questions dans le cas du groupe GL(2). J'expliquerai ensuite les généralisations proposées par Gan-Gross-Prasad et, si le temps le permet, certains résultats récents les concernant.

Conférence donnée lors du congrès 2025 de la Société Mathématique de France.