Формула векторного произведения кривизны: доказательство и пример на примере скрученного куба

В этом видео я вывожу более удобную формулу для кривизны пространственной кривой, которая включает векторное произведение первых двух производных векторной функции. Я вывожу её, используя тот факт, что единичный касательный вектор имеет постоянную длину, равную 1 (т.е. отсюда и термин «единичный»), следовательно, он перпендикулярен своей производной, что позволяет нам упростить длину векторного произведения. Новая формула гласит, что кривизна равна длине или величине векторного произведения первых двух производных векторной функции, делённой на куб длины касательного вектора. Я иллюстрирую это на примере нахождения кривизны скрученной кубической пространственной кривой, которую я рассматривал ранее.

#математика #векторы #исчисление #векторноепроизведение #кривизна

Временные метки:

Теорема: Формула векторного произведения кривизны – 0:00
Доказательство: Получение единичного касательного вектора и производных касательного вектора – 1:07

Повторение правила произведения векторных функций – 4:43

Напомним, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю – 5:30

Векторное произведение производных касательного вектора – 6:52

Напомним, что касательный вектор перпендикулярен векторной функции постоянной длины – 10:28

Вспомним формулу длины векторного произведения – 12:05

Длина векторного произведения производных касательного вектора – 12:42

Перегруппируем, чтобы получить длину производной единичного касательного вектора – 17:10

Подставим результаты в предыдущую формулу для кривизны – 17:54
Пример 4: Кривизна Скрученная кубическая функция – 19:24

Векторное произведение касательного вектора производных – 22:20

Подстановка результатов дает кривизну скрученной кубической функции – 27:35

В начале координат кривизна равна 2 – 28:21

Примечания и плейлисты:

Краткое содержание: https://inleo.io/threads/view/mes/re-...
Примечания: https://peakd.com/@mes/koxharrd
Плейлист разделов:    • Vector Functions: Arc Length and Curvature  
Плейлист векторных функций:    • Vector Functions  

-------------------------------------------------------

Станьте суперфанатом MES!    / @mes  

ПОЖЕРТВУЙТЕ! ʕ •ᴥ•ʔ https://mes.fm/donate

ПОДПИСАТЬСЯ по электронной почте: https://mes.fm/subscribe

Ссылки MES: https://mes.fm/links

Правда MES: https://mes.fm/truth
Официальный сайт: https://MES.fm
Hive: https://peakd.com/@mes

Напишите мне: contact@mes.fm

Бесплатные калькуляторы: https://mes.fm/calculators

Калькулятор ИМТ: https://bmicalculator.mes.fm
Калькулятор оценок: https://gradecalculator.mes.fm
Калькулятор ипотеки: https://mortgagecalculator.mes.fm
Калькулятор процентов: https://percentagecalculator.mes.fm

Бесплатные онлайн-инструменты: https://mes.fm/tools

Приложения для iPhone и Android: https://mes.fm/mobile-apps