Natürliche Logarithmusfunktion - Log Naturalis || StrandMathe || Oberstufe ★ Wissen

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Natürliche Logarithmusfunktion - Log Naturalis

Der ln(x) ist der natürliche Logarithmus. Er ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion. Bekannt ist bereits log_a⁡〖(x)〗 zur Bestimmung des Exponenten einer beliebigen Basis a. Weil die e-Funktion häufig verwendet wird, wird der natürliche Logarithmus als eigene Funktion mit der Basis e eingeführt.
log_e (x)=ln(x)
〖y=e〗^x ln⁡〖(y)〗=x

Die natürliche Logarithmusfunktion existiert nur für x größer 0. Allgemein gilt weiterhin für Logarithmusfunktionen log_a⁡〖(1)〗=0 und somit auch ln⁡〖(1)〗=0.
Der natürliche Logarithmus ist eine streng monoton steigende Funktion. Auch wenn die Funktion eine Rechtskrümmung besitzt, existiert kein Grenzwert für x gegen ∞.

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus f(x)=ln(x) lautet f^' (x)=1/x.
Oft wird der natürliche Logarithmus benötigt, um ein Stammfunktion von f(x)=1/x zu bilden.
Skizziere die Funktion f(x)=2ln⁡(2x+1)+1 und vergleiche sie mit dem natürlichen Logarithmus g(x)=ln⁡(x). Bestimme den Definitionsbereich von f(x) und gib das Grenzverhalten an. Berechne anschließend mögliche Nullstellen.
Wie groß ist zudem die Steigung an der Stelle x=1? Gibt es noch weitere Tangenten von f(x) mit der gleichen Steigung?

Zunächst ist es sinnvoll, sich den groben Verlauf der natürlichen Logarithmusfunktion zu überlegen. Dabei hilft es den Definitionsbereich zu bestimmen und das Randverhalten der Funktion zu untersuchen.

Allgemein gilt für eine Logarithmusfunktion, dass sie nur für ein Argument größer 0 definiert ist.

Das Argument entscheidet dementsprechend über den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. An dieser Stelle liegt zudem eine Asymptote vor:
Das Grenzverhalten für x gegen ∞ ist bei beiden Funktionen gegen +∞.


Die Funktion f(x) ist im Vergleich zur ln-Funktion nach links verschoben und wächst aufgrund des Ausdrucks im Logarithmus sowie durch den Vorfaktor 2 stärker als g(x). Zusätzlich wird der konstante Wert 1 addiert.

Die Nullstellen der beiden Funktionen lassen sich wie gehabt berechnen:
Zur Steigungsberechnung an der Stelle x=1 musst du die Ableitung f'(x) bestimmen. Dabei sollte die Kettenregel angewandt werden.

Die Steigung an der Stelle x=1 beträgt 4/3 . Da die Ableitungsfunktion mit 4/(2x+1) streng monoton fallend ist, kann keine weitere Stelle mit der gleichen Steigung vorliegen (lässt sich bei genauer Betrachtung auch aus dem Verlauf des Logarithmus schließen).

„Du brauchst vor dem Logarithmus keine Angst zu haben. Halte dich einfach an die Rechengesetze.“

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