Diminuir o Passo PIORA a Derivada?! (o bug do Cálculo Numérico)

Você já ouviu “quanto menor o h, melhor a derivada numérica”? Neste vídeo eu provo que isso NÃO é verdade.

Usando f(x)=sin(x) e calculando a derivada em x=1 (valor exato: cos(1)), eu varro vários valores de h e mostro o erro no gráfico: ele cai, atinge um mínimo e depois sobe — a famosa curva em “U”. Isso acontece porque dois erros competem:

1) Erro de truncamento (diminui quando h diminui)
2) Erro de arredondamento (aumenta quando h fica pequeno demais por causa do ponto flutuante)

Depois eu comparo quatro abordagens para aproximar a derivada:
Diferença para frente (forward)
Diferença central
Extrapolação de Richardson
Complex-step

Resultados (neste experimento):
Forward: h ótimo ~ 1e-8 com erro ~ 1e-9
Central: h ótimo ~ 1e-5 com erro ~ 1e-12
Richardson: h ótimo ~ 1e-3 com erro ~ 1e-15
Complex-step: h ~ 1e-8 com erro encostando no limite do float (~ 1e-16)

Moral: diminuir h não é sempre o melhor. O método certo permite usar h maior e ainda assim obter erro menor — mas o h ótimo depende da função e do ponto analisado (aqui foi sin(x) em x=1).

Código e visuais gerados em Python (Matplotlib + FFmpeg/NVENC).

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