【名門校】洛南の名作「三角数×余り」の合計問題を完全攻略

■ 問題
洛南中 2010年度
1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, … を6で割った余りを並べると
1, 3, 0, 4, 3, … という数列になる。
この数列の1〜2010番目までの和を求めなさい。

■ ポイント（解法の方針）

・1＋2＋…＋n は三角数 Tn = n(n+1)/2。
・三角数を6で割った余りは「12周期」で繰り返す。
・周期12の合計＝22。
・2010 = 12×167 + 6 で分解。
・167周期分と、残り6項分を加えるだけで良い。

■ 途中式

周期12の余り
1,3,0,4,3,3,4,0,3,1,0,0
合計 = 22

2010 = 12×167 + 6
167周期分 = 22 × 167 = 3674
残り6項 = 1 + 3 + 0 + 4 + 3 + 3 = 14

総和 = 3674 + 14 = 3688

■ 答え
3688

■ 考え方メモ
・三角数の余りは「周期性」をもつ典型例。
・6で割る ⇒ 余りは最大5 ⇒ 規則は必ず出る。
・長い数列を力技で処理せず、周期化して“ひとまとめ”に計算するのが受験算数の王道。
・大問に時間を回すためにも、規則性問題は見抜く習慣が大切。


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