Examen National 2021 SM - Etude de Fonction - suites numériques

Dans cette vidéo je vais corriger avec vous l'exercice "d'analyse", qui est l'extrait de l'examen national 2021 SM, dans lequel on étudiera une suite de fonction, suite récurrente et suite implicite.
Cette vidéo est dédiée aux étudiants 2ème année bac SM

N'oubliez pas qu'il est important d'essayer de travailler l'exercice avant de voir la correction.
▬▬▬▬▬▬▬ Exercice ▬▬▬▬▬▬▬

Vous pouvez télécharger l’exercice à partir d'ici : https://cutt.ly/JnUDRg6

(∀x∈R) f_n (x)=(-2e^x)/(1+e^x )+nx
Partie I:
1)a) Calculer∶ (lim)┬(x→+∞)⁡( f_n (x)-nx+2) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

b) Montrer que la courbe (C_n ) admet en-∞ une asymptote (Δ_n ) dont on déterminera
Une équation cartésienne

2)a) Montrer que la fonction f_n est dérivable sur R et que∶
(∀x∈R) f_n'(x)=(-2e^x)/(1+e^x )^2 +n

c) En déduire le sens de variation de la fonction f_n sur R
(on distinguera les deux cas∶ n=0 et n≥1)

5) Pour tout réel t≥0 ,on pose A(t) l^' air du domaine plan limité par (C_n ) et
les droites d^' équations respectives∶ y=nx-2 ,x=0 et x=t

a) Calculer A(t) pour tout t≥0

b) Calculer (lim)┬(t→+∞) A(t)
Partie II:
(u_n )_(n≥0) ,u_0=0 et (∀n∈N) ; u_(n+1)=〖 f〗_0 (u_n )

b) Montrer que∶ (∀x∈R) |f_0^' (x)|≤1/2
2)a) Montrer que (∀n∈N) |u_(n+1)-α|≤1/2|u_n-α|

b) Montrer que (∀n∈N) |u_n-α|≤(1/2)^n |α|

c) Montrer que la suite (u_n )_(n≥0) converge vers α

Partie III:
On suppose∶ n≥2

1)a) Montrer que pour tout n≥2 ,il existe un unique réel x_n solution de l^' équation 〖 f〗_n (x)=0

b) Montrer que pour tout n≥2 , 0≤x_n≤1 (on prendra 2e/(1+e)≤1,47)

3)a) Montrer que pour tout n≥2 , 1/n≤x_n≤1/n (2e/(1+e))

b) En déduire (lim)┬(n→+∞) x_n ,puis momntrer que lim┬(n→+∞) 〖nx〗_n=1

4)a) Montrer que pour tout n≥2 ,on a∶ x_n≤x_2

b) En déduire (lim)┬(n→+∞) (x_n )^n



00:29 Énoncée de l'exercice
Partie 1:
00:59 question 1)a)
02:41 question 1)b)
04:08 question 2)a)
08:09 question 2)b)
09:55 question 2)c)
15:45 question 3)a)
17:02 question 3)b)
21:53 question 4)
25:12 question 5)a)
31:01 question 5)b)
Partie 2:
34:17 question 1)a)
37:42 question 1)b)
39:06 question 2)a)
41:27 question 2)b)
44:33 question 2)c)
Partie 3:
45:44 question 1)a)
47:30 question 1)b)
52:02 question 2)a)
53:37 question 2)b)
54:49 question 2)c)
55:13 question 3)a)
01:06:55 question 3)b)
01:09:56 question 4)a)
01:10:23 question 4)b)

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▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Branches concernées▬▬▬▬▬▬▬▬

bac
2 bac
2 bac sm
bac sciences
bac biof
bac sciences math
Sciences Mathématiques
terminal
examen national

▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Récapitulatif de la vidéo▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• Nous allons étudier une suite fonction avec exponentiel népérien.0

• Nous étudierons une suite récurrente.

• Nous étudierons une suite implicite.

• Application du théorème des accroissements finis .

Et en fin nous allons déterminer la limite de la suite implicite.

👉 Et vous pouvez consulter les autres vidéos de cette playlist, pour voir d'autres exercices sur les suites numériques et leurs applications.

▬▬▬▬▬▬▬▬ MOTS-CLÉS ▬▬▬▬▬▬▬▬

#Suite_de_Fonction
#Suite_Implicite
#National2021