Etude de Fonction - Suites Implicites - Examen National 2024 SM Rattrapage

Dans cette vidéo je vais corriger avec vous l'exercice 1 d'analyse, qui est l'extrait de l'examen national 2024 SM session rattrapage, dans lequel on va étudier une suite de fonction avec logarithme népérien et une suite implicite.
Cette vidéo est dédiée aux étudiants 2ème année bac SM

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▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Exercice▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

Examen Complet : https://cutt.ly/Fe29GzEO

Exercice1: (Examen National 2024 SM Rattrapage)
Soit n un entier ≥ 2
On considère la fonction numérique fn définie sur [0,+∞[ par :
fn (0)=0 et (∀x∈]0,+∞[) fn (x)=x-x^n ln⁡x
1)a) Montrer que fn est continue à droite en 0
b) Montrer que (lim)┬(x→+∞)⁡〖fn (x)〗=-∞
et (lim)┬(x→+∞)⁡〖(fn (x))/x〗=-∞ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Montrer que fn est dérivable à droite en 0 et que son nombre dérivé à droite en 0 est égal à 1
d) Montrer que fn est dérivable sur ]0,+∞[ et que :
∀x∈]0,+∞[ fn' (x)=1-x^(n-1)-nx^(n-1) ln⁡x
e) Montrer que fn est strictement croissante sur [0,1] et strictement décroissante
sur [1,+∞[
2)a) Montrer que pour tout entier n≥2 , ona : ∀x∈[0,+∞[ f(n+1) (x)≤fn (x)
b) En déduire la position relative des deux courbes (Cn) et (C(n+1))
3)a) Montrer que pour tout n≥2 , il existe un unique réel αn∈]1,2[ tel que :
fn (αn)=0 (On prendra ln⁡2=0,7)
b) Vérifier que (∀n≥2) α(n+1)^n ln⁡〖α(n+1) 〗=1
c) En déduire que pour tout n≥2 fn (α(n+1) )=α(n+1)-1
d) Montrer que la suite (αn )(n≥2) ainsi définie est strictement décroissante.
e) En déduire que la suite (αn)_(n≥2) est convergente.
4) On pose : l=(lim)┬(n→+∞)⁡〖αn 〗
a) Montrer que : 1≤l≤2
b) Montrer que pour tout n≥2 n-1=-ln⁡(ln⁡(αn ))/ln⁡(αn)
c) On suppose que l≥1 . Calculer (lim)┬(x→+∞)⁡〖ln⁡(ln⁡(αn) )/ln⁡(αn)〗en fonction de l
d) En déduire la valeur de la limite l

00:30 Énoncée de l'exercice
01:26 question 1)a)
02:40 question 1)b)
07:04 question 1)c)
08:31 question 1)d)
10:34 question 1)e)
18:11 question 2)a)
22:17 question 2)b)
23:18 question 3)a)
31:08 question 3)b)
34:45 question 3)c)
35:55 question 3)d)
40:15 question 3)e)
40:46 question 4)a)
41:45 question 4)b)
46:16 question 4)c)
49:21 question 4)d)

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▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Branches concernées▬▬▬▬▬▬▬▬

2 bac
2 bac sm
bac sciences
bac biof
bac sciences math
Sciences Mathématiques
terminal
examen national

▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Récapitulatif de la vidéo▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• Nous allons étudier une suite de fonction avec logarithme népérien : variations, branches infinies.
• Etude d'une suite implicite

👉 Et vous pouvez consulter les autres vidéos de cette playlist, pour voir d'autres exercices sur l'étude de fonctions et les suites numériques avec leurs applications.

▬▬▬▬▬▬▬▬ MOTS-CLÉS ▬▬▬▬▬▬▬▬

#Etude_de_Fonction
#Suites_Numériques
#National2024_Ratt