Задача Буффона об игле для оценки числа Пи, объяснение

В этом видео мы рассмотрим задачу Бюффона об игле — увлекательное упражнение, сочетающее в себе теорию вероятности, геометрию и математический анализ. Мы сосредоточимся на оценке значения числа Пи с помощью понятия среднего значения функции. Начнём с объяснения задачи, первоначально сформулированной Жоржем-Луи Леклером, графом де Бюффоном. Задача заключается в бросании иголок на пол, размеченный параллельными линиями, и определении вероятности того, что иголка пересечёт одну из этих линий. Эта вероятность, как мы показываем, связана со значением числа Пи.

Мы упрощаем эксперимент, рассматривая все иголки так, как если бы они попадали между одной парой линий, что снижает сложность задачи. Затем мы предлагаем уникальный подход, «бросая» нити на неподвижную иголку, вместо традиционного метода бросания иголок. Это упрощение позволяет нам сосредоточиться исключительно на угле поворота иголки, устраняя необходимость учитывать её вертикальное положение.

Наш расчет начинается с предположения, что длина иглы L меньше или равна расстоянию между прямыми D, что позволяет нам выразить вероятность пересечения иглы прямой через L, D и синус угла наклона иглы к горизонтали (угол θ). Мы вычисляем среднее значение этой функции вероятности по всем возможным углам, используя базовые методы исчисления с одной переменной.

Мы расширяем наше обсуждение до второго случая, когда длина иглы превышает расстояние между прямыми, чтобы создать кусочно-определённую функцию вероятности.

Мы иллюстрируем наши теоретические выводы с помощью моделирования в MATLAB, показывая, как эти эксперименты могут аппроксимировать число пи.

#математика #математика #вероятность #исчисление #геометрия #приближение числа пи #симуляция Matlab