Оценить число π с помощью макарон? Задача Буффона об иголке и лапше. Почему Пи?

Как оценить число Пи, бросая прямые вермишели на квадратную сетку? Почему здесь есть Пи? Решение проблемы иглы Бюффона путём обобщения на вермишели Бюффона, используя только теорию вероятностей без какого-либо анализа. Больше ссылок ниже

Ссылки на мои последующие видео:
Совместное компьютерное моделирование на Python/Google:    • Computer simulations of Buffon's Needle Pr...  
Подробное доказательство пропорциональности:    • Proofs for Buffon's Noodle Problem: Averag...  

0:00 Как оценить число Пи с помощью макарон
0:44 Формула для Пи
1:10 Компьютерное моделирование
1:25 Задача о игле Буффона
1:48 Один странный трюк... сварить спагетти
2:19 Задача о лапше Буффона
3:11 Экспериментальные и теоретические средние значения
4:50 Прямая и изогнутая лапша
6:05 Среднее число пересечений пропорционально длине
6:26 Использование круглой лапши для вычисления C
7:20 Полное доказательство того, почему формула оценивает число Пи
8:57 Бонусное доказательство: теорема Барбье

Другие видео на YouTube об игле Буффона
*Классическое видео Numberphile на Игла Буффона (с использованием математического анализа!):    • Pi and Buffon's Matches - Numberphile  
[Обратите внимание, что Numberphile использует горизонтальные доски вместо квадратной сетки (что даёт коэффициент 2), а их спички вдвое короче, чем мои лапша, что даёт ещё один коэффициент 2. Таким образом, их общая формула выглядит так: Пи = Количество спичек/Количество пересечений (отличается в 4 раза по сравнению с этим видео)]

*MIT OpenCourseware с кратким решением для математического анализа:    • S09.1 Buffon's Needle & Monte Carlo Simula...  
[Как и Numberphile, они используют горизонтальные доски, поэтому это отличается в 2 раза от моего видео: Пи = 2 Количество игл/Количество пересечений для игл длиной 1]

*Видео MindYourDecisions об игле Буффона:    • Surprising π from probability! Buffon's ne...  
[Включает доказательство математического анализа и «Доказательство Барбье», которое похоже на доказательство Бюффона с лапшой. Разница в 2 раза такая же, как и в предыдущих двух видео, из-за использования горизонтальных досок: Pi = 2 (число игл/число пересечений)

*Видео Mathologer о фигурах постоянной ширины и теореме Барбье:    • New Reuleaux Triangle Magic  
[В 8:49 говорится о другом геометрическом доказательстве теоремы Барбье]

Ссылки на Википедию:
*Задача Бюффона об игле: https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%...
[Обратите внимание, что в традиционной версии задачи Бюффона об игле используются бесконечные горизонтальные доски вместо квадратной сетки, что даёт разницу в 2 раза в формуле оценки: Pi = 2* (число игл/число пересечений) для этой версии]

*Лапша Бюффона: https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%...

*Методы Монте-Карло: https://en.wikipedia.org/wiki/Метод_М...
[Игла Бюффона — первый пример метода Монте-Карло: оценка чего-либо с использованием случайности в своих интересах!]

*Геометрическая вероятность: https://en.wikipedia.org/wiki/Геометр...
[Другие задачи, похожие по сути на иглу Бюффона]

*Ожидаемое значение (также известное как «среднее значение») https://en.wikipedia.org/wiki/Ожидаем...
[Ключом к нашему решению было манипулирование ожидаемыми значениями, в частности, использование их линейности!]

*Центральная предельная теорема https://en.wikipedia.org/wiki/Централ...
[Объясняет, насколько велика типичная разница между теоретическими и экспериментальными средними значениями]

*Закон больших чисел https://en.wikipedia.org/wiki/Закон_б...
[Другой смысл в котором экспериментальные средние значения сходятся к теоретическим средним значениям]

*Теорема Барбье: https://en.wikipedia.org/wiki/Barbier...

*Особые примеры фигур постоянной ширины: https://en.wikipedia.org/wiki/Reuleau...

Музыка: Винсент Рубинетти
Скачать музыку на Bandcamp:
https://vincerubinetti.bandcamp.com/a...
Слушать музыку на Spotify:
https://open.spotify.com/album/1dVyjw...
Спасибо, Винсент, за любезное разрешение использовать твою замечательную музыку в моём видео!

Это видео было снято для выставки 3Blue1Brown Summer of Math Exposition (SoME1) (см. https://www.3blue1brown.com/blog/some1). Спасибо за организацию этого замечательного конкурса! Победители объявлены по ссылке
   • 2021 Summer of Math Exposition results  !

#3blue1brown #SoME1 #пи #вероятность #математика #математика #Монте-Карло #whypi #анимация