НМУ - Семинар по спектральной геометрии - 17.12.2025 - Михаил Муравьёв

17 декабря 2025 года (среда)
Докладчик: Михаил Муравьёв (ВШЭ)
Тема: Собственные числа оператора Ходжа-Лапласа на многообразиях с границей

Аннотация:
Один из классических вопросов спектральной геометрии звучит следующим образом: как много собственных значений Неймана данного Риманова многообразия меньше k-того собственного значения Дирихле? В своей работе [1] 1986 года Левин и Вейнбергер показали, что для выпуклых областей ответ не меньше k + N, где N - это размерность соответствующего многообразия. В работе [2] 2024 года Роледер обобщает описанный выше результат на односвязные Евклидовы области, ослабляя тем самым требование на выпуклость. Работа [2] интересна не только своим результатом, но и техникой. В том числе Роледер представляет вариационное описание для объединения спектров Неймана и Дирихле. В качестве Гильбертова пространства Роледер использует пространство поливекторов, что не вполне естественно. Кажется более естественным использовать изоморфное ему пространство дифференциальных форм, для которого существует богатая техника, в том числе техника работы с оператором Ходжа-Лапласа, являющегося обобщением оператора Лапласа-Бельтрами для пространства гладких форм.

В докладе будет кратко изложена техника работы с оператором Ходжа-Лапласа на многообразиях с границей, а так же представлены результаты свежей статьи [3], в которой результаты Роледера переводятся с языка векторных полей на язык дифференциальных форм и частично обобщаются на старшие размерности.

Библиография.
[1] Levine, H.A., Weinberger, H.F.: Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues, Arch. Rational Mech. Anal. 94, no. 3, 193–208 (1986).
[2] Rohleder, J. Inequalities between Neumann and Dirichlet Laplacian eigenvalues on planar domains. Math. Ann. 392, 5553–5571 (2025). https://doi.org/10.1007/s00208-025-03...
[3] Muravyev, M. Hodge Laplacian Eigenvalues on Surfaces with Boundary. Ann. Math. Québec (2025). https://doi.org/10.1007/s40316-025-00...