Расширенная рациональная арифметика чисел (с p-дуадами) и повороты | От классического к квантовом...

На пути к новой арифметике для спина, включающей направленные рациональные числа, мы сначала рассмотрим подход к рациональным числам, описанный в MF 104: Арифметика рациональных чисел с бесконечностью и другими значениями. Это потребовало начать с чего-то, близкого к кольцевой структуре на узлах целочисленной решётки на плоскости, которую мы называем «дуадами», а затем определить подходящее отношение эквивалентности, чтобы получить не только рациональные числа a/b, где a и b — целые числа, b не равно 0, но и новый объект 1/0, называемый «бесконечностью», и ещё один новый объект 0/0, называемый «zoz» (название предложено читателем teavea10). Вместе они составляют проективные дуады, или, для краткости, p-дуады.

Арифметика здесь, безусловно, более тонкая, особенно если требуется избежать «неоднозначного поглощающего объекта» zoz. Но мы действительно восстанавливаем рациональную арифметику, избегая бесконечности и zoz. Однако существуют ситуации, когда, по крайней мере, бесконечность является полезным понятием. Для нас главным является применение к «повороту» между ориентированными векторами на плоскости или, что эквивалентно, к (синим) комплексным числам. Это ориентированное отношение к понятию поворота в рациональной тригонометрии и тесно связано с классическим понятием тангенса угла, но в данной трактовке иррациональные числа и трансцендентные функции старательно избегаются.

Вскоре мы увидим, что эта схема допускает простое расширение до версии поворота с направленным лучом, сначала установив направленное лучевое расширение рациональных чисел и, в более общем смысле, p-дуад.