Ferenci Tamás - A mátrix exponenciális tulajdonságai és néhány jellegzetes esete 2x2-es mátrixnál

A mátrix függvények közül kiemelkedik jelentőségét, gyakorlati alkalmazásait tekintve az exponenciális függvény. A mátrix exponenciális függvénye számos más matematikai alkalmazásban, műszaki, mérnöki, közgazdasági, orvosi, természettudományos területen jön elő (mindenekelőtt abból a szerepéből fakadóan, amit a differenciálegyenletek megoldásában játszik). Első lépésben, ismerve a Jordan-féle normálalak kapcsán elmondottakat, most már teljes általánosságban felírjuk egy mátrix exponenciálisát. Ezt követően megnézzük a legfontosabb tulajdonságait: mi a determinánsa, két mátrixexponenciális szorzata mikor a mátrixok összegének exponenciálisa (akkor, ha a két mátrix kommutál), ennek melléktermékeként azt is látni fogjuk, hogy minden mátrixexponenciális invertálható, és megkapjuk az inverzet is. Ez után, helyenként sok munkával, de végigszámoljuk a 2x2-es mátrixok exponenciálisát néhány nevezetes mátrixra: diagonális mátrixra, felső háromszög-mátrixra és olyan mátrixra, aminek a főátlójában van csupa nulla, és a mellékátlóban nem. Bár az általános esetet nem nézzük meg, de a "néhány" példa kiválasztása persze nem hasraütésszerű volt: azok a függvények, amik itt jelennek meg az exponenciális egyes elemeiben (exponenciális, polinommal szorzott exponenciális, trigonometrikus függvények) jelennek meg az általános esetben is - ráadásul, mint majd később látni fogjuk, nem csak a 2x2 mátrixoknál, hanem általában is.

Tartalomjegyzék

0:00 Mátrix exponenciális függvénye általános mátrixra
14:25 A mátrix exponenciális legfontosabb tulajdonságai
32:09 Mátrix exponenciális néhány jellegzetes esete 2x2-es mátrixnál
34:05 2x2-es diagonális mátrix exponenciálisa
40:21 2x2-es felső háromszögmátrix exponenciálisa
1:20:04 2x2-es anti-diagonális mátrix exponenciálisa

#LineárisAlgebra