Топология 5 | Введение в общую топологию. Метрические и топологические пространства.

Пятое занятие факультатива, проходящего на физическом факультете ИТМО.
Преподаватель Илья Алексеев.
Материалы курса по ссылке https://exploring-geometric-topology....

Ссылка на плейлист факультатива    • Факультатив по топологии  

Наш курс посвящен маломерной, геометрической и алгебраической топологии: изучению поверхностей, многообразий и более общих типов пространств, их вложений и непрерывных отображений друг в друга, а также инструментов из алгебры для работы с ними.

В конце 19 века у математиков не было четкого и единообразного определения тех пространств, с которыми они работали, хотя уже на тот момент им удавалось получать о них совершенно нетривиальные результаты.

Например, поверхности возникали у них в виде подмножеств в $\R^n,$ точки которых являются решениями определённых уравнений. Кроме того, пространства для математиков 19 века могли собираться из многогранников произвольной размерности: вершин, рёбер, плоских граней, трёхмерных ячеек, и так далее. Мы уже видели в предыдущем разделе ”Анализ положений”, как для них (практически из ниоткуда) возникает эйлерова характеристика, которая не зависит от конкретного способа вложения в $\R^n.$

🤔 Сверхзадача: аксиоматизировать понятие пространства, придумать математически строгий интерфейс, позволяющий формализовать топологические интуиции.

Только потом, в начале 20 века, математики начали свободно оперировать с концепцией топологического пространства. Их изучение оформилось в самостоятельную математическую дисциплину — теоретико-множественную топологию (или общую топологию).
В 1925—1975 годах она являлась одной из самых бурно развивающихся областей математики.

Рисунок на обложке: https://etudes.ru/etudes/unlacing-fin...

00:00 Содержание лекции
7:15 Общая топология, общие слова
10:12 Метрическое пространство
16:14 Евклидова метрика
18:38 Манхэттенская метрика
22:16 Метрика Чебышёва
26:14 Индуцированная метрика
27:40 Вид шара и сферы в трёх метриках
35:15 Что можно определить в метрических пространствах?
41:32 Мысленный эксперимент про рай и ад
46:00 Изометричные метрические пространства
51:23 Примеры изометрии
1:02:00 При n больше 2 все три метрики не изометричны попарно
1:04:33 Выпуклое подмножество м.п., экстремальная точка
1:13:21 Переход к топологическому пространству
1:26:07 Топологическое пространство, мотивировка
1:29:06 Непрерывное отображение
1:31:50 Открытое множество в метрическом пространстве
1:38:37 Примеры открытых множеств
1:43:20 Определение топологического пространства, открытое множество