В лабиринт Мёбиуса: шесть функций Мёбиуса, одна неабелева машина | Теория групп | Dogmathic

https://dogmathic.com/

Сегодня мы докажем, что конечное множество преобразований Мёбиуса образует группу относительно композиции функций. Начнём с области определения A = R \ {0,1}, так что каждая используемая нами функция фактически отображает A в A. Затем определим шесть функций:

f(x) = 1/(1-x)
g(x) = (x-1)/x
h(x) = 1/x
i(x) = x
j(x) = 1-x
k(x) = x/(x-1)

Далее мы проверим аксиомы группы простым способом для конечного множества: построим таблицу Кэли для композиции. Таблица мгновенно подтверждает замкнутость, показывает, что i(x)=x является тождественной функцией, и позволяет нам считывать обратные функции. Попутно я вручную вычислю несколько композиций, чтобы вы могли точно увидеть, как эти некрасивые дроби упрощаются.

После того, как таблица будет заполнена, мы извлечём структуру: порядки элементов (включая f³ = i и g³ = i, а также h² = j² = k² = i), быструю проверку на неабелевость путём сравнения элементов по диагонали и объяснение того, почему ассоциативность возникает из композиции. Завершим дополнительными фактами: эти функции также называются дробными линейными функциями, это множество порождается двумя элементами, мы перечислим подгруппы и свяжем всю структуру с известными группами порядка 6 D3 и S3 посредством изоморфизма.

   • The Gateway to Group Theory: Groups in Und...  
   • Unmasking Cayley Tables: Why Z/5Z Breaks U...  
   • Abstract Algebra  

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ
Преобразования Мёбиуса и дробно-линейные функции
Ограничение области определения A = R \ {0,1}
Функции как элементы множества при композиции
Аксиомы групп: замкнутость, тождественность, обратные элементы, ассоциативность
Таблица Кэли для конечной операции
Единичная функция i(x) = x
Обратные функции из записей таблицы
Вычисления композиции с рациональными выражениями
Порядок элементов и степени при композиции
Неабелев тест с помощью табличной асимметрии
Создание группы из двух элементов
Подгруппы и делящиеся порядки 6
Изоморфизм в D3 и S3
Наименование групп перекрестных отношений

РАЗДЕЛЫ:
00:00 Введение
00:55 Установка Мёбиуса
02:05 Область определения A
03:05 Шесть функций
04:10 Контрольный список групп
05:10 Таблица Кэли
06:20 Строка тождественности
07:15 Композиция f с f
08:40 Композиция f с g и h
10:10 Композиция f с k
11:35 Композиция g с f
13:20 Завершение таблицы
17:10 Обратные элементы и квадраты
19:05 Порядок элементов
21:10 Ассоциативность
23:30 Проверка неабелевых функций
25:20 Имена и генераторы
27:10 Подгруппы и изоморфизмы
29:00 Спасибо за просмотр

#dogmathic #GroupTheory #MobiusTransformation #ПреобразованиеМёбиуса #КомпозицияФункций #ТаблицаКейли #АбстрактнаяАлгебра #НеабелеваГруппа #ПорядокЭлементов #Подгруппы #Изоморфизм #D3 #S3