احتمالات الحوادث المتنافية

رياضيات صف ثاني ثانوي : الترم الثالث : الاحتمالات : الدرس الخامس :
احتمالات الحوادث المتنافية
Probabilities of Mutually Exclusive Events
الحوادث المتنافية :
الحادثتان المتنافيتان
mutually exclusive events
الحادثة المتممة
complement event
لقد اختبرت في الدرس 3-4احتمالات تتضمن تقاطع حادثتين أو أكثر في وقت واحد،
وستختبر في هذا الدرس احتمالات تتضمن اتحاد حادثتين أو أكثر.
P(A B)
↑
ø«àYƒªée OÉëJG ≈∏Y ∫ój
P(A B)
↑
ø«àYƒªée ™WÉ≤J ≈∏Y ∫ój
عند إيجاد احتمال وقوع حادثة أو وقوع حادثة أخر،￯ يجب أن تعرف العلاقة بين الحادثتين. فإذا لم يكن وقوع
الحادثتين ممكنً ُ ا في الوقت نفسه يقال إنهما متنافيتان ْ ؛ أي أنه لا توجد نواتج مشتركة بينهما
حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أم غير متنافيتين في كل ّ مما يأتي، وبرر إجابتك:
ارجع إلى المعلومات الواردة في فقرة "لماذا؟".
(aالمسؤول من الصف الثاني الثانوي أو من الصف الثالث الثانوي.
ً هاتان الحادثتان متنافيتان؛ لأنه ليس بينهما نواتج مشتركة، إذ لا يمكن أن يكون المسؤول طالبا في الصف
الثالث الثانوي والثاني الثانوي في آن واحد.
(bالمسؤول طالب من الصف الأول الثانوي أو طالب يبدأ اسمه بحرف م.
هاتان الحادثتان غير متنافيتين؛ لأنه يمكن أن يكون المسؤول من الصف الأول الثانوي وفي الوقت نفسه
يبدأ اسمه بحرف م
-حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أم غير متنافيتين في كل ّ مما يأتي، وبرر إجابتك:
(1Aاختيار عدد من الأعداد من 1إلى 100ًّ عشوائيا، والحصول على عدد يقبل القسمة على 5أو عدد يقبل
القسمة على . 10
(1Bالحصول على المجموع 6أو المجموع 7ّ ، عند رمي مكعبين مرقمين متمايزين مرة واحدة
إحدى طرق إيجاد احتمال وقوع حادثتين متنافيتين هو اختبار فضاء العينة لهما.
ً فمثلا لإيجاد احتمال ظهور 3أو 4ّ عند رمي مكعب مرقم، ستر￯ من أشكال
ڤن أنه يوجد ناتجان يحققان هذا الشرط 3أو ،4لذا فإن:
P(3 4) = _2
6 =
1_3
َ لاحظ أنه يمكن إيجاد هذا الاحتمال بإضافة احتمالي الحادثتين البسيطتين.
P(3) = _1
6 وP(4) = _61 P(3 4) = _61 + _61 = _62 = _31
ِّ يوضح هذا المثال القانون الأول من قانوني الجمع في الاحتمالات
اختار موسى كتابا من الكتب الموجودة في مكتبته المبينة في الجدول
ً المجاور بشكل عشوائي. ما احتمال أن يكون الكتاب تاريخيا أو علميا؟
إذا ر مي مكعبان مرق xمان متمايزان مرة واحدة. فما احتمال أن يظهر العدد نفسه على كل َ من وجهي
المكعبين أو أن يكون مجموع العددين 9؟
2Bُ إذا ربح طالب في مسابقة إلقاء الشعر في احتفال المدرسة باليوم الوطني للمملكة فسيمنح
ًّ جائزة. إذا اختيرت الجائزة عشوائيا من بين 15محفظة و 16ساعة و 14نظارة و 25ً قلما و 10كرات،
ُ فما احتمال أن يمنح الفائز محفظة أو ساعة أو كرة؟
2Cُ إذا أ قيم سباق ٍ لمجموعة من الإبِل تتكون من: 5إِبِل وضح و9ِ مجاهيم و6ُ شعل و 12ُصفرا فما
ُ احتمال َ أن يكون الجمل الفائز ِ من لون ِ المجاهيم أو الشعل؟
عند رمي مكعب مرقم مرة واحدة، ما احتمال الحصول على عدد أكبر من
2أو عدد زوجي؟ يمكنك أن تلاحظ من أشكال ڤن وجود 5أعداد أكبر من
2أو زوجية وهي . 2, 3, 4, 5,6لذا فإن:
) = _65عدد زوجي أو أكبر منP( 2
وبما أنه يمكن الحصول على عدد أكبر من 2وزوجي في الوقت نفسه، فإن
هاتين الحادثتين غير متنافيتين، وإذا أخذنا احتمال كل حادثة على حدة فإن:
) = _63زوجي() = _64 Pأكبر من P( 2
وإذا جمعنا هذين الاحتمالين فإن احتمالي الناتجين 4 ، 6يحسبان مرتين؛ مرة لكونهما عددين أكبر من 2ّ ، ومرة
أخرى لكونهما عددين زوجيين؛ لذا يجب عليك أن تطرح احتمال الناتجين المشتركين.
عدد زوجي وأكبر من ) - P( 2عدد أكبر من ) + P(2عدد زوجي() = Pعدد زوجي أو أكبر من P(2
=
3_6
_4
6 -
2_6
=
5_6
يؤدي هذا المثال إلى قانون الجمع الثاني في الاحتمال
يبين الجدول المجاور 30لوحة رسمها
ًّ إبراهيم. إذا اختار إحد￯ هذه اللوحات عشوائيا
ّ للمشاركة في معرض للوحات الفنية، فما احتمال
3ً في المثال أعلاه، ما احتمال أن تكون اللوحة التي اختارها إبراهيم مائية أو شكلا ًّ هندسيا؟
احتمال الحادثة المتممة :
عناصر الحادثة المتممة Aّ تتكون من جميع نواتج فضاء العينة غير الموجودة في
،
1_6
الحادثة Aً . فمثلا تعلم أن احتمال الحصول على العدد 4ّ عند رمي مكعب مرقم من 1إلى 6مرة واحدة يساوي
وبالتالي فإن احتمال عدم الحصول على العدد 4هو _65؛ وذلك لأنه توجد 5نواتج ممكنة لهذه الحادثة هي:
.1, 2, 3, 5, 6لذا فإن )= _65عدم الحصول على العدد .P(4
.1 - P(4) أو1 - _1
لاحظ أن هذا الاحتمال يساوي
اشتركت سميرة في مسابقة ثقافية، وطلب إليها سحب بطاقة عشوائيا من صندوق به
300بطاقة، منها20بطاقة رابحة. ما احتمال عدم سحب بطاقة رابحة؟
(4إذا كان احتمال هطول المطر % 70فما احتمال عدم هطوله؟

أن يختار لوحة زيتية أو ً منظر ًّ ا طبيعيا؟
بما أن بعض لوحات إبراهيم مناظر طبيعية
ولوحات زيتية في وقت واحد فإن هاتين
الحادثتين غير متنافيتين
افرض أن % 81ّ من سائقي إحدى المدن يستعملون حزام الأمان. إذا تم َ اختيار سائقين واحدا
ًّ تلو الآخر عشوائيا من بين 100من السائقين. وكانت هذه المجموعة تعكس صورة المجتمع، فما احتمال أن
يكون أحدهما على الأقل لا يستعمل حزام الأمان؟
5أشارت إحدى الدراسات إلى أن % 35ّ من السائقين يستعملون الهاتف النقال أثناء
ً قيادة السيارة. إذا اختير سائقان واحد ا تلو الآخر عشوائيا من مجموعة 100سائق، فما احتمال أن يستعمل
ّ أحدهما على الأقل هاتفه النقال أثناء القيادة؟