Complex Integrals 5 - قضیه انتگرال کُشی | مثال‌های تشریحی + قاعده تعیین تعداد ریشه‌ها در ناحیه

در این ویدیو به قضیه انتگرال کُشی می‌پردازیم که یکی از مهم‌ترین نتایج در آنالیز مختلط است.
نشان می‌دهیم چرا این قضیه صحیح است، چگونه برای محاسبه انتگرال‌ها به کار می‌رود، و چگونه برای به‌دست‌آوردن مشتقات تابع تحلیلی در یک نقطه استفاده می‌شود.

سپس چندین مثال تشریحی کامل بررسی می‌کنیم تا کاربرد عملی آن را نشان دهیم.
در بخش پایانی، قاعده آرگومان (Argument Principle) را معرفی می‌کنیم که روشی دقیق برای تعیین تعداد ریشه‌های یک تابع درون یک ناحیه محاط به مسیر بسته می‌باشد.

⭐ سرفصل‌ها

بیان و توضیح کامل قضیه انتگرال کُشی

نسخه مشتقی قضیه (Cauchy formula for derivatives)

کاربرد در محاسبه انتگرال‌ها

مثال‌های کاملاً تشریحی

قاعده آرگومان برای تعیین تعداد ریشه‌ها در ناحیه

ارتباط با عددپیچش (Winding Number) و قطب‌ها

مقدمه‌ای بر قضیه مانده‌ها

🎓 مناسب برای:

دانشجویان ریاضی، فیزیک و مهندسی که به دنبال درک عمیق و قابل فهم از ابزارهای آنالیز مختلط هستند.

🎯 ارائه شده توسط دکتر کمال عقیق

آموزش ساده، حرفه‌ای و مفهومی ریاضیات دانشگاهی.
برای ویدیوهای بیشتر در آنالیز مختلط، سری‌ها و PDE عضو کانال شوید.

مرجع: کتاب ریاضی مهندسی دکتر کمال عقیق.
در این ویدیو از جزوات آموزشی جناب آقای دکتر رحامی استاد دانشگاه تهران نیز استفاده شده است.
In this video, we introduce and deeply explore the Cauchy Integral Formula, one of the cornerstone results of complex analysis.
We explain why this formula works, how it generalizes derivatives of analytic functions, and how it leads to powerful tools in contour integration.

We then present fully worked examples to demonstrate the practical use of the formula.
Finally, we introduce the Argument Principle, a fundamental rule used to determine the number of zeros of a complex function inside a region.

⭐ Topics Covered

Statement and meaning of the Cauchy Integral Formula

Cauchy formula for derivatives

Applications in evaluating contour integrals

Worked examples with detailed reasoning

Argument Principle (Rule for counting zeros inside a contour)

Relationship with winding number and poles

Preparation for Residue Theorem

🎓 Who is this video for?

Students of mathematics, physics, and engineering seeking a clear and intuitive understanding of complex analysis tools.

🎯 Presented by Dr. Kamal Aghigh

Clear, friendly explanations of advanced university mathematics.
Subscribe for more lessons on complex analysis, PDEs, and mathematical methods.