Estruturas Algébricas - Aula 11: Subgrupos de Grupos Cíclicos, Proposições e Ordem de um Elemento

Estruturas Algébricas - Aula 11: Subgrupos de Grupos Cíclicos, Proposições e Ordem de um Elemento

Dúvidas e sugestões podem ser colocadas nos comentários do vídeo. Tentarei responder a todos na medida do possível.

Na Aula 11 de Estruturas Algébricas são discutidos os seguintes tópicos:

i) Subgrupos de grupos cíclicos também são cíclicos: é a Proposição 1 da aula, onde ela é apresentada e demonstrada de forma completa.

ii) Classificação dos Grupos Cíclicos: Finitos e Infinitos: apresento os dois casos possíveis para grupos cíclicos, que permitem definir grupos cíclicos finitos e infinitos.

iii) Proposições Relacionadas: a partir da classificação, duas proposições são apresentadas, Proposição 2 e Proposição 3. Na Proposição 2 temos a garantia de que todo grupo cíclico infinito é isomorfo ao grupo aditivo dos inteiros. Portanto, conclui-se que, a menos de isomorfismo, só existe um grupo cíclico infinito, que é (Z, +). Já na Proposição 3, pelo fato de ser relacionada a um grupo cíclico finito, G=[a], o resultado garante que existe um inteiro positivo h tal que a^h=e, e que, para todo valor inteiro positivo r, menor que h, a potência a^r é sempre diferente do elemento neutro. Portanto, o grupo terá exatamente h elementos, ou seja, a ordem do grupo é h. Além disso, esse mesmo valor h, que é o menor inteiro positivo tal que a^h=e, é definido como a ordem do elemento a, indicado por o(a)=h.

iv) Ordem de um elemento em um grupo: esse tópico, já definido pela Proposição 3, é melhor discutido com maior detalhes com os exemplos resolvidos ao final do vídeo.

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00:00 Introdução
00:26 Proposição 1
07:57 Classificação dos grupos cíclicos
09:13 Proposição 2
10:48 Proposição 3
12:06 Exercícios

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