Seite eines Quadrates | Rechtwinkeliges Dreieck | Trigonomterie | Winkelfunktionen anwenden

Wie lang ist die Seite des Quadrates, wenn verschiedene Längen gegeben sind?

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Der Kosinussatz ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für ebene Dreiecke (in der Ebene) ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Die Kongruenzsätze SSS (Seite, Seite, Seite) und SWS (Seite, Winkel, Seite) besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel (einschließenden Winke) vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann.

Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Die Seiten eines beliebigen Dreieckes verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel. Der Sinussatz enthält also mehrere Gleichungen. Eine dieser Gleichungen kann somit zur Seitenberechnung oder Winkelbestimmung benutzt werden. Dafür müssen in der Aufgabenstellung entweder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel oder eine Seite und zwei Winkel gegeben sein.

Der Kosinussatz besagt, dass das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen Seiten, welche um das doppelte Produkt dieser Seiten und des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist.
Der Kosinussatz wird zum Berechnen von Dreiecksparametern verwendet, wenn drei Seiten oder zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben ist.

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