PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições.

1ª propriedade

O valor do determinante de uma matriz A é igual ao determinante da matriz da transposta de B, det A = det (A^t).


2ª propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.


3ª propriedade

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.


4ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então:
det P’ = 2 * det P

CONSEQUÊNCIA: Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por k^n.

det (k*A) = k^n * det A


5ª propriedade
Um determinante é nulo, quando uma fila é combinação linear de outras duas filas paralelas.






8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.



9ª propriedade

Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.


10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.