428--振動分析，會用到的工程數學，有哪些？(

《振動噪音科普專欄》振動分析，會用到的工程數學，有哪些？
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這個單元要來探討的主題是：「振動分析」(vibration analysis)，會用到的「工程數學」(engineering mathematics)，有哪些？

為什麼會來探討這個主題呢？許多學生常常不知道為什麼需要修讀「工程數學」？甚至也有業界朋友直言，不必讀「工程數學」，在業界用不到。殊不知，數學是工程之母，工學院的學生在在需要有良好的「工程數學」背景，方能夠真正處理工程實務的研發工作。

本單元，就本人撰寫的「振動學」(Vibrations)，全華科技圖書公司出版，以及主要的授課內容，盤整了「振動分析」(vibration analysis)，會用到的「工程數學」(engineering mathematics)，有哪些？

首先，一定會用到的、修讀「工程數學」的先修課程，就是「微積分」(calculus)，包含：微分(difference)、積分(integration)。也會介紹一些函數(function)，在振動課程中，常見的有：簡諧函數(harmonic function)、脈衝函數(Dirac delta function)、步階函數(step function)。

在此提示，一個數學方程式(mathematical equation)，可以從三個角度來看：

1. 「數學意義」(Mathematical meaning)：方程式，本身就是「數學意義」。
2. 「幾何意義」(Geometrical meaning)：而方程式，常常可以幾何圖形表示，就是「幾何意義」。
3. 「物理意義」(Physical meaning)：數學厲害的地方，就是相同的「數學意義」、「幾何意義」，可以應用到不同場合，就會有不同的「物理意義」。

以簡諧函數(harmonic function)來說，可以有以下三種形式：

1. 正弦函數：𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，如果，𝒇(𝒕)是外力之時間波形，可以觀察到，𝑭 就是「簡諧外力振幅」(harmonic force amplitude)，而 𝒇 就是此「簡諧外力」的「激振頻率」(excitation frequency)。
2. 餘弦函數：𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝒕)，本質上和正弦函數是相同的，只是有90度相位角差。
3. 複數形式的指數函數：𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕=𝑭[𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)+𝒊𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)]，由尤拉公式(Euler formula)，𝒆^𝒊𝝎𝒕 可以解析為：餘弦函數 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 和正弦函數 𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 的組合。

以上，𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)、𝒇(𝒕)=𝑭𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕)、𝒇(𝒕)=𝑭𝒆^𝒊𝝎𝒕，都可以由方程式的「數學意義」，畫出「幾何意義」，而在此，𝒇(𝒕)的「物理意義」，就是外力之時間波形。

其次，在振動分析的入門，就是：「常微分方程式」(ordinary differential equation, ODE)，也是工程數學的入門。參閱圖示右上方，顯示了典型的外力激振SDOF(single degree of freedom)系統的模型，以及對應的運動方程式，就是一個二階的ODE，所以，需要兩個初始條件。

解析這樣的SDOF運動方程式，可以彙整有以下的解析方法，在本單元，僅列出方程式，以及簡單說明如下：

1. 特解(particular solution) 解析：𝒙(𝒕)=𝒙𝒉(𝒕)+𝒙𝒑(𝒕)。其中，𝒙𝒉(𝒕)是齊性解(homogenous solution)，𝒙𝒑(𝒕)是特解(particular solution)。
2. 脈衝響應函數(impulse response function, IRF) 解析：𝒙(𝒕)=𝒙𝑰𝑪 (𝒕)+𝒙𝑰𝑹𝑭 (𝒕)。其中，𝒙𝑰𝑪 (𝒕)是初始條件(initial condition, IC)效應的解。𝒙𝑰𝑹𝑭 (𝒕)是外力效應的IRF解。
3. 頻率響應函數 (frequency response function, FRF) 解析： 𝒙𝑭𝑹𝑭 (𝒕)。係透過傅立葉轉換(Fourier transform, FT)以及逆傅立葉轉換(inverse Fourier transform, IFT)的解析方法。
4. 拉普拉斯轉換 (Laplace transform, LT) 解析：透過LT，將系統的時間域(time domain)參數，轉換到s-域(s-domain)，求得s-domain的解，再透過逆拉普拉斯轉換 (inverse Laplace transform, ILT)，取得time domain的解。
5. 數值解析(numerical solution)：常用的有，(1)有限差分法(finite difference method)，(2)旋轉積分(convolution integral)，以及(3)Runge-Kutta數值方法。

另外，如果系統的外力，是週期性函數(periodic function)，就需要用到傅立葉級數(Fourier series, FS)。更進階的任意函數，則有傅立葉轉換(Fourier transform, FT)、以及快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)。FFT適用在數位化的、離散的、信號之頻譜分析(spectral analysis)。

再其次，參閱圖示右上方，顯示了典型的外力激振MDOF(multiple degree of freedom)系統的模型，以及對應的運動方程式，就是一個二階的「聯立常微分方程式」(coupled ODEs)。需要的是「矩陣理論」(matrix theory)，包括：

1. 矩陣的加、減、乘、除、逆矩陣、轉置矩陣、對稱矩陣、對角化矩陣等等。
2. 矩陣的行列式(determinant)。
3. 矩陣的特徵值問題(eigenvalue problem)，取得特徵值(eigenvalue)、特徵向量(eigenvector)。

更進階到結構的「連續系統」(continuous system)，系統的運動方程式，會是「偏微分方程式」(partial differential equation, PDE)，如圖片右下方，列舉兩個典型的案例：

1. 線側向振動(string lateral vibration)：其運動方程式是二階(second order) PDE。
2. 樑側向振動(beam lateral vibration)：其運動方程式是四階(fourth order) PDE。

如果，處理的是「隨機振動」(random vibration)，還需要一些「統計學」(statistics)概念，簡要列舉如下：

1. 平均值(mean value)：𝒙 ̅。
2. 平方平均值(mean square value)：(𝒙^𝟐 ) ̅。
3. 平方平均根值(root mean square (rms) value)：𝒙_𝒓𝒎𝒔。
4. 標準差(standard deviation)：𝝈𝒙。
5. 機率密度函數(probability density function)：𝒑(𝒙)。
6. 機率分布函數(probability distribution function)：𝑷(𝒙)。

從以上的列舉討論，可以看到在「振動分析」(vibration analysis)，學習「工程數學」(engineering mathematics)，是很重要的背景知識。最後以典型的振動系統分類，來看對應的數學基礎：

1. 「離散系統」(discrete system)的SDOF系統：就是二階的「常微分方程式」(ordinary differential equation, ODE)。
2. 「離散系統」(discrete system)的MDOF系統：就是二階的「聯立常微分方程式」(coupled ODEs)。
3. 「連續系統」(continuous system)：會是「偏微分方程式」(partial differential equation, PDE)。如：線側向振動(string lateral vibration)，其運動方程式是二階(second order) PDE，樑側向振動(beam lateral vibration)，其運動方程式是四階(fourth order) PDE。

以上個人看法，請多指教！

王栢村
2025.06.17