世界に一つだけの三角形のペア「864」 - 明日話したくなる「数」のお話 #27

今回の動画では、慶應義塾大学の平川さんと松村さんが2019年に発見した、周の長さと面積が等しい直角三角形と二等辺三角形のペアを紹介します。

このペアは辺の長さが有理数という条件の下では、相似の違いを除いて唯一であることが証明でき、まさに「世界に一つだけの三角形のペア」というわけです。

その証明には、超楕円曲線やその有理点を計算する「数論幾何」的な手法が用いられており、大変興味深いですね！
ぜひ最後までご覧になってください！


★元論文
・Yoshinosuke Hirakawa and Hideki Matsumura, "A unique pair of triangles", Journal of Number Theory, 194, 297–302 (2019).
https://www.sciencedirect.com/science...

・慶應義塾大学によるプレスリリース
https://www.keio.ac.jp/ja/press-relea...


★参考記事・書籍
・超楕円曲線 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%...
↑ただし、英語の直訳みたいな文章なので、ちゃんと読むにはおすすめしません。

・セルマー群と2-descent法 - tsujimotterのノートブック
https://tsujimotter.hatenablog.com/en...
↑ヤコビ多様体の有理点のランクを計算するのには、こちらの降下法（descent）が使われているみたいです

・山本 芳彦 「数論入門（現代数学への入門）」岩波書店
https://www.amazon.co.jp/dp/4007307385/
↑「超楕円曲線とヤコビ多様体」の章が大変わかりやすいです

・Integer triangle - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Integer...
↑辺の長さが整数であるような三角形については、パラメータ化の方法が載っています。


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明日話したくなる「数」のお話は、「数」のことが大好きなtsujimotterが、それぞれの数の持つさまざまな性質やエピソードについて熱く解説する動画シリーズです！
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日曜数学者 tsujimotter
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