Aspectos Matemáticos Básicos Sobre Tensores | Uma Não Tão Breve História do Espaço

Neste vídeo, encerraremos a sequência sobre tensores. Nosso objetivo é entender aspectos matemáticos básicos relacionados ao assunto. Aprenderemos como tensores surgem como elementos no produto tensorial de espaços vetoriais. Identificaremos dois tipos especiais de tensores: simétricos e antissimétricos. Aprenderemos como levantar e abaixar índices de tensores quando o espaço vetorial associado é equipado com uma forma bilinear simétrica não-degenerada. Entenderemos como o produto tensorial transforma aplicações multilineares em aplicações lineares, o que nos permitirá compreender a operação de contração de índices tensoriais. Por fim, revisitaremos a Equação de Campo de Einstein para comentar um pouco mais sobre os aspectos tensoriais da equação e motivação geométrica. Neste ponto, teremos a oportunidade de aprender um pouco sobre o Tensor Curvatura de Riemann, o Tensor Curvatura de Ricci e a Curvatura Escalar.

Sumário:
00:20 - Aplicações Multilineares;
01:20 - Espaço das formas bilineares;
01:34 - Mudanças de coordenadas para formas bilineares;
02:53 - Formas bilineares simétricas e antissimétricas;
04:17 - O Produto Tensorial;
05:19 - O Produto Simétrico e Exterior;
05:51 - A base para os tensores covariantes de segunda ordem;
07:44 - Tensores covariantes de ordem superior;
08:20 - Exemplos simples para ilustrar o assunto até aqui;
09:31 - Um pouco de interpretação geométrica;
10:50 - Tensores simétricos e antissimétricos de ordem superior;
11:38 - O básico sobre Grupo Simétrico;
15:21 - Dimensão dos espaços dos tensores simétricos e antissimétricos;
18:16 - Transformações lineares são tensores mistos de segunda ordem;
19:39 - Sutileza envolvendo tensores mistos. Formas bilineares e transformações lineares associadas;
20:58 - O produto tensorial não é comutativo;
23:20 - Existem 3 tipos de tensores de segunda ordem;
24:03 - Não-degenerescência, levantamento e abaixamento de índices;
28:01 - Definição de produto tensorial de transformações lineares;
28:44 - Exemplo: abaixamento de índices de tensor contravariante de segunda ordem;
30:03 - Duas características importantes do produto tensorial: universalidade e capacidade de transformar aplicações multilineares em aplicações lineares;
32:15 - A contração de índices;
34:12 - Revisitando a Equação de Campo de Einstein;
34:40 - Riemann descobre o Tensor Cuvartura para variedades de ordem superior;
36:47 - Um pouco do aspecto tensorial do Tensor Curvatura de Riemann;
38:00 - Um pouco de interpretação geométrica;
38:42 - Tensores na Equação de Campo de Einstein.

Referências:
Cálculo Tensorial - Elon Lages Lima;
Introduction Smooth Manifolds - John M. Lee.

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