[EXO#18] Topologie : la suite ((-1)ⁿ) prend ses distances ! (Exercice)

Dans cette émission, je calcule la distance (pour la norme infinie) séparant la suite (1, -1, 1, -1, …) et l'ensemble des suites réelles convergentes. J'essaie d'expliquer, étape par étape et dessin à l'appui, comment progresser vers la conception d'une solution de ce genre d'exercices.

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🕒 Repères temporels :
0:00 – Étude de l'énoncé
1:21 – Recherche sur un dessin
5:36 – Une conjecture
6:36 – Début de la solution
7:14 – À l'assaut de la difficulté principale
11:41 – Dernière ligne droite (raccourci possible !)
15:20 – Outro

🕊️ Raccourci possible à 11:41 :
La distance d est à la fois plus grande que |1-l| et |1+l|, donc plus grande que max(|1-l|, |1+l|). Or, l'une de ces deux valeurs absolues est plus grande que 1 (il suffit de distinguer deux cas selon le signe de l pour constater cela), donc d est elle-même plus grande que 1.

✒️ Notions abordées : espace vectoriel, suite bornée, norme infinie, suite convergente, suite de Cauchy, distance, borne supérieure, suite extraite, limite d'une suite convergente, valeur absolue.
🌞 Bonne écoute !

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