【整数のセンス】分母でヒントを読む！a, b, c の条件を論理的に絞る方法

#宮崎学園高校 #不定方程式 #分数方程式 #整数問題 #通分 #中学数学 #高校入試 #受験算数

■ 問題
a/4 + b/3 + c/2 = 2
ただし、a, b, c は自然数とする。

■ ポイント
・両辺を通分して「整数の式」に直すと考えやすい。
・自然数なので、a, b, c はすべて1以上の整数。
・分母に注目すると、a は4の倍数でなくてもよいが、通分後の式で自然に絞られる。

以下、動画本編と異なりますが、ご参考まで。

■ 解き方1（実験的に調べる）

両辺を12倍して分母を消す。
　→ 3a + 4b + 6c = 24

c は自然数なので、6c ≤ 24 から c = 1, 2, 3, 4 のどれか。

c = 1 のとき
　3a + 4b = 18
　b = 3 のとき、3a = 6 → a = 2
　→ (a, b, c) = (2, 3, 1)

c = 2 のとき
　3a + 4b = 12
　b = 3 のとき、a = 0（自然数でない）→ 不適

c = 3 のとき
　3a + 4b = 6
　正の整数の組が存在しない

c = 4 のとき
　3a + 4b = 0 → 不可能

よって、自然数の組は (a, b, c) = (2, 3, 1) ただ一つ。

■ 解き方2（整理して考える）

通分後の式は 3a + 4b + 6c = 24

c を決めると、3a + 4b の値が定まる。
　例：c = 1 のとき 3a + 4b = 18

a, b は自然数なので、b に3を代入すると a = 2 がぴったり当てはまる。

c = 2 以上では a が0以下になるため不適。

よって、(a, b, c) = (2, 3, 1)

■ 答え
a = 2, b = 3, c = 1

■ 一言まとめ
通分して整数式に直すのが最重要ポイント。
c の値を順に試して、自然数条件を満たす組を探すとスムーズに解けます。


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