Wärmeleitungsgleichung am Beispiel eines eindimensionalen Stabs (Folge 361)

Wie lässt sich mit dem Produktansatz von Fourier und Bernoulli die Wärmeleitungsgleichung, mit vogegebenen Randbedingungen und Anfangsbedingungen, am Beispiel eines eindimensionalen Stabs lösen?


Dipl. Physiker Dietmar Haase zeigt in diesem Video, wie sich mit dem Produktansatz von Fourier und Bernoulli ein Randanfangswertproblem zur Wärmeleitungsgleichung am Beispiel eines eindimensionalen Stabs lösen lässt. Dabei wird angenommen, dass ein eindimensionaler Stab der Länge L an seinen Stabenden permanent auf konstanter Temperatur von null Grad Celsius gehalten wird und zusätzlich über dem Stab noch eine Anfangstemperaturverteilung vorgegeben ist. Damit ähnelt das Randanfangswertproblem der Wärmeleitungsgleichung stark dem Randanfangswertproblem der eindimensionalen Wellengleichung. Es wird gezeigt, dass sich die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung für einen eindimensionalen Stab wesentlich unterscheiden von den Lösungen der Wellegleichung für einen beidseitig eingespannten Stab. An einem konkreten Beispiel, mit vorgegebener Anfangstemperaturverteilung und vorgegebenen Randbedingungen, wird gezeigt, wie sich mithilfe der Fourierreihenentwicklung die Wärmeleitungsgleichung lösen lässt und wie die zeitliche Temperaturentwicklung entlang des eindimensionalen Stabs aussieht.

Eine Vielzahl von Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu diesem Thema finden Sie im Lehr- und Übungsbuch ”Angewandte Mathematik für Ingenieure” Band 13: Partielle Differenzialgleichungen

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