Allgemeine Runge Kutta Verfahren, Numerische Methoden #54

Was sind allgemeine Runge-Kutta-Verfahren und was unterscheidet ein allgemeines explizites
Runge-Kutta-Verfahren von einem allgemeinen impliziten Runge-Kutta-Verfahren?



Dipl. Physiker Dietmar Haase zeigt in diesem Video, wie sich ein allgemeines Runge-Kutta-Verfahren durch Verwendung einer beliebigen Quadraturformel konstruieren lässt. Das Ziel wird es auch hier wieder sein, die Lösung eines gewöhnlichen Anfangswertproblems erster Ordnung durch eine diskrete Gitterfunktion möglichst gut zu approximieren. Dazu wird die Lösung des Anfangswertproblems zunächst über jedes einzelne diskrete Teilintervall durch eine geeignete Quadraturformel angenähert, wodurch dann insgesamt ein Einschrittverfahren zur näherungsweisen Berechnung des Funktionswerts an der rechten Teilintervallgrenze resultiert. Die allgemeinen Runge-Kutta-Verfahren unterscheiden sich in der Anwendung in explizite und implizite Verfahren. In der Regel werden in der Praxis meistens immer explizite Runge-Kutta-Verfahren verwendet, da sie mit einem verhältnismäßig geringen Rechenaufwand durchführbar sind. Es gibt aber Spezialfälle, sogenannte steife Anfangswertprobleme, bei denen ein implizites Runge-Kutta-Verfahren dem expliziten Runge-Kutta-Verfahren vorzuziehen ist. Den Preis den man dafür zahlen muss, ist, dass in jedem einzelnen Rechenschritt zunächst ein in der Regel nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden muss, wodurch sich der Rechenaufwand massiv erhöht.

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