Etude de Fonction - Suites Numériques - 2 Bac SM - [Exercice 30]

Dans cette vidéo je vais corriger avec vous la partie 2 du devoir précédent sur "l'étude de fonctions et les suites numériques", dans la partie 1 on a déjà étudier la fonction f, dans la partie 2 de cette vidéo on va étudier une suite récurrente définie par la fonction f et une suite implicite.
Cette vidéo est destinée aux étudiants 2ème année bac SM

💡N'oubliez pas qu'il est important d'essayer de travailler l'exercice avant de voir la correction.

▬▬▬▬▬▬▬ Exercice ▬▬▬▬▬▬▬

lien de l'exercice arabe : https://cutt.ly/Z19VVW3
lien de l'exercice Fr : https://cutt.ly/t191x1a


Exercice : (Devoir surveillé)
f(x)=Arctan⁡(√(x^2+1)-x)
II) On considère la suite numérique (u_n ) définie par∶
u_0=π/4 et u_(n+1)=f(u_n ) pour tout n∈N
1) Montrer que (∀n∈N) 0≤u_n≤1
2)a) Montrer que (∀x∈]0,1[) ∶ |f'(x)|≤1/2
b) En utilisant le théorème des accroissements finis à la fonction f,
Montrer que∶(∀n∈N) | u_(n+1)-c|≤1/2 |u_n-c|
c) En déduire que la suite (u_n ) est convergente et
calculer∶ (lim)┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗
III) Soit n∈N*
1) Montrer que l'équation∶ f(x)=1/n admet une solution unique v_n dans ├]-∞,0┤[
2) Comparer f(v_n ) et f(v_(n+1) ) puis en déduire que (v_n ) est strictement croissante
3) Montrer que∶ (lim)┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗=+∞
IV) 1) En utilisant la dérivation montrer que∶
(∀x∈R) Arctan⁡(√(x^2+1)-x)+1/2 Arctan⁡x=π/4
Soit n∈N* on pose∶ g_n (x)=f(x)-(√3 x)^n définie sur R_+
2) Montrer que l'équation∶ g_n (x)=0 admet une solution unique w_n dans R_+
et que∶ 0≤w_n≤1/√3
3) Montrer que∶ (∀x∈├]0,1/√3┤[) g_(n+1) (x)≥g_n (x)
puis en déduire que (w_n ) est strictement croissante et convergente
4) calculer∶ (lim)┬(n→+∞)⁡〖(w_n )^n 〗
5) On pose∶ (lim)┬(n→+∞)⁡〖w_n 〗=l ,
a) Montrer que∶ 0≤l≤1/√3
On désire montrer par l'absurde que l=1/√3 ,supposons que∶ l≤1/√3
b) Montrer que∶0≤w_n≤l≤1/√3 ,puis en déduire que (lim)┬(n→+∞)⁡〖(√3 w_n )^n 〗=0
c) En déduire une contradiction puis calculer (lim)┬(n→+∞)⁡〖w_n 〗


Partie 2:
00:21 Énoncée de l'exercice
01:05 question 1)
05:28 question 2)a)
07:10 question 2)b)
11:51 question 2)c)
Partie 3:
15:07 question 1)
19:26 question 2)
21:07 question 3) 1er méthode
24:40 question 3) 2éme méthode
Partie 4:
28:43 question 1)
32:07 question 2)
39:55 question 3)
45:14 question 4)
46:23 question 5)a)
49:34 question 5)b)
53:54 question 5)c)

▬▬▬▬▬▬▬ BRANCHES CONCERNÉES ▬▬▬▬▬▬▬

2 bac Sciences Mathématiques
2 bac sm
bac biof
2 bac sciences math
terminal
examen national

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▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Récapitulatif de la vidéo▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• Nous allons étudier une fonction définie par parties avec Arctan, en étudiant sa dérivabilité, dresser son tableau de variations, étudier les branches infinies et tracer sa courbe.

• Nous allons étudier une suite récurrente U(n+1)=f(Un)

• On va étudier une suite implicite.

👉 Et vous pouvez consulter les autres vidéos de cette playlist, pour voir d'autres exercices sur l'étude de fonction.

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▬▬▬▬▬▬▬▬ MOTS-CLÉS ▬▬▬▬▬▬▬▬

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