Teoria degli Insiemi. Relazioni, Funzioni e Proprietà. Funzioni Iniettive, Suriettive e Biettive

TEORIA DEGLI INSIEMI. RELAZIONI
Una Relazione ℛ tra due Insiemi A e B (non vuoti) consiste in una Proprietà che associa ad alcuni Elementi dell'Insieme A alcuni Elementi dell'Insieme B. In generale, una relazione ℛ tra A e B è un Sottoinsieme del Prodotto Cartesiano A×B, ovvero un insieme di coppie ordinate (a, b) dove a∈A e b∈B.
Le Relazioni tra Insiemi godono della Proprietà Riflessiva (e Antiriflessiva), della Proprietà Simmetrica (e Antisimmetrica) e della Proprietà Transitiva.
Sostanzialmente, esistono due tipi di Relazione che godono di queste proprietà: le Relazioni di Equivalenza e le Relazioni di Ordine. Le Relazioni di Equivalenza sono quelle che soddisfano le proprietà Riflessiva, Simmetrica e Transitiva; ad esempio, la relazione "avere lo stesso numero di scarpe" è una relazione di equivalenza tra le persone; infatti, ogni persona ha lo stesso numero di scarpe di se stessa (riflessiva); inoltre, la persona A ha lo stesso numero di scarpe della persona B e la persona B ha lo stesso numero di scarpe della persona A (simmetrica); infine, se la persona A ha lo stesso numero di scarpe della persona B e la persona B ha lo stesso numero di scarpe della persona C, allora la persona A ha lo stesso numero di scarpe della persona C (transitiva). Le Relazioni di Ordine sono quelle che soddisfano le proprietà Riflessiva (per le relazioni di ordine largo) o Antiriflessiva (per le relazioni di ordine stretto), Antisimmetrica e Transitiva; ad esempio, la relazione "essere alto quanto o più alto di" è una relazione di ordine tra le persone; se, inoltre, la persona a è alta quanto o più alta della persona b e la persona b è alta quanto o più alta della persona a, allora la persona a e la persona b hanno la stessa altezza (antisimmetrica); se, infine, e la persona a è alta quanto o più alta della persona Bb e la persona b è alta quanto o più alta della persona c, allora la persona a è alta quanto o più alta della persona c (transitiva).
Se la Relazione associa ad ogni Elemento di un Insieme A un solo Elemento di un altro Insieme B, viene definita Funzione. Una relazione ℛ tra A e B è una funzione se: ∀a∈A, ∃b∈B tale che (a,b)∈ℛ (ogni elemento di A è associato ad almeno un elemento di B) e ∀a∈A, ∀b,c∈B, (a,b)∈ℛ ∧ (a,c)∈ℛ→b=c (ogni elemento di A è associato a non più di un elemento di B). Quindi, una Funzione è una Relazione che associa ad ogni Elemento del "Dominio" (A) uno e un solo Elemento del "Codominio" (B). Ogni funzione viene indicata con una lettera minuscola (f, g, h, ...) e con una scrittura del tipo: f: A→B (f è una funzione da A a B). Se una funzione f fa corrispondere a un elemento x di A un elemento y di B, y costituirà l'"Immagine" di x, y=f(x), e x la "Controimmagine" di y. Il Dominio di f: A→B è l'Insieme A, mentre l'Insieme Immagine è il Sottoinsieme di B, costituito dagli Elementi di B che sono immagini degli Elementi di A. Se, ad esempio, f: ℝ→ℝ è definita da f(x)=x², allora Il dominio di f è ℝ (tutti i numeri reali) e l'insieme immagine di f è [0,+∞) (tutti i numeri reali non negativi).
Una Funzione è definita "Numerica" se il suo Dominio e il suo Insieme Immagine sono Insiemi Numerici; le funzioni numeriche vengono descritte con un'espressione algebrica che lega dominio e codominio tramite due variabili: la x (variabile indipendente del dominio) e la y (variabile dipendente del codominio). Viene, inoltre, definita Iniettiva se ogni elemento di B è immagine di non più di un elemento di A: ∀(a,b)∈A, f(a)= f(b)→a=b, Suriettiva, se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A: ∀b∈B, ∃a∈A | f(a)=b e Biettiva se è sia iniettiva che suriettiva; in altre parole, ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A.
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00:00 Introduzione
00:24 Relazioni
04:35 Proprietà delle Relazioni
11:34 Funzioni
13:23 Proprietà delle Funzioni
14:34 Conclusione