Обратное, скрытое в тёмном лесу полиномов | Абстрактная алгебра | Поликольца | Поля | Догматика

В этом видео мы работаем с фактор-кольцом F3[x] по модулю (x^3+2x+1) и находим обратный элемент к элементу x^4+2x^3. Сначала мы вспоминаем, как выглядит F3 и кольцо многочленов F3[x], затем проверяем, что x^3+2x+1 неприводим над F3, а значит, обратные элементы существуют. Далее мы сводим x^4+2x^3 по модулю x^3+2x+1 к более простому квадратному кольцу, затем используем алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида для решения уравнения (x^2 + x + 1) h(x) ≡ 1 mod (x^3+2x+1). Шаг за шагом мы строим h(x), проверяем, что произведение действительно сравнимо с 1, и в итоге получаем чистый замкнутый вид для обратного элемента внутри фактор-кольца.

   • The Secret Structure Hidden Inside F2[x] m...  
   • Turning Ugly Polynomial Congruences Into C...  
   • A Gentle Introduction to Polynomial Modula...  
   • Beginner’s Guide to Congruence Classes and...  
   • Abstract Algebra  

СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ
Кольцо многочленов F3[x]
Поле F3 с элементами 0, 1, 2
Кольцо частных F3[x]/(x^3+2x+1)
Неприводимые многочлены над конечными полями
Взаимно простые многочлены и существование обратных
Приведение степеней по модулю многочлена
Алгоритм Евклида для многочленов
Расширенный алгоритм Евклида для многочленов
Запись НОД как линейная комбинация
Построение явного обратного числа в фактор-кольце
Проверка обратного числа прямым умножением

ГЛАВЫ
00:00 Введение
00:55 Поле F3 и кольцо многочленов F3[x]
02:20 Проверка неприводимости x^3+2x+1 над F3
04:40 Почему существуют обратные числа в фактор-кольце
05:50 Сокращение степеней x по модулю p(x)
07:30 Переписывание x^4+2x^3 в виде x^2 + x + 1
09:30 Алгоритм Евклида для нахождения НОД p(x) и x^2 + x + 1
15:10 Расширенный алгоритм Евклида для построения обратного числа
19:20 Проверка обратного числа x^4+2x^3
22:30 Спасибо за просмотр

#dogmathic #дискретнаяматематика #абстрактнаяалгебра #полиномиальныекольца #конечныеполя #евклидовалгоритм #расширенныйевклидов #модулярнаяарифметика #математическоедоказательство