Превращение некрасивых полиномиальных сравнений в чистые решения | Абстрактная алгебра | Поликоль...

В этом видео мы решаем линейное многочленное сравнение над рациональными числами: находим многочлен f(x) из Q[x] такой, что x^9 f(x) сравнимо с 1 mod x^2 + 2. Мы начинаем с напоминания случая целых чисел, где условие на НОД гарантирует разрешимость линейных сравнений, а затем переносим эту идею на многочлены с рациональными коэффициентами. Используя деление многочленов в столбик и алгоритм Евклида, мы вычисляем НОД для x^9 и x^2 + 2 и показываем, что он нормализуется до 1, так что решения существуют. Затем мы устанавливаем расширенный алгоритм Евклида в матричной форме для этих многочленов и явно решаем для f(x). Это приводит к явному обратному многочлену x^9 по модулю x^2 + 2 из Q[x], и мы интерпретируем результат как пример многочленной модульной арифметики в коммутативном кольце с полевыми коэффициентами. Если вам нужно освежить знания о модулях полиномов или матрице EA, ниже приведены ссылки на сопутствующие видеоролики.

   • Beginner’s Guide to Congruence Classes and...  
   • The Secret Structure Hidden Inside F2[x] m...  
   • Master Congruences In Less Than 25 Minutes...  
   • Why One Shared Polynomial Forces Equality ...  
   • The Cleanest Ring Homomorphism Proof You’l...  
   • Abstract Algebra  

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ

Линейные сравнения и условие НОД
Кольца многочленов над Q
Наибольший общий делитель многочленов
Алгоритм Евклида для многочленов
Деление многочленов в столбик
Матрица расширенного алгоритма Евклида
Линейное диофантово уравнение в Q[x]
Нормализация НОД к 1
Нахождение Обратное число x^9 mod x^2 + 2
Интерпретация обратных чисел по модулю многочлена

ГЛАВЫ:
00:00 Введение
00:48 Обзор целочисленных линейных сравнений и НОД
02:00 Задание сравнения многочленов в Q[x]
03:20 Полиномиальное деление x^9 в столбик на x^2 + 2
05:00 Вычисление остатка 16x и НОД
06:20 Нормализация НОД и проверка существования решения
07:40 Построение матрицы расширенного алгоритма Евклида
09:30 Решение для f(x) и запись сравнения
11:10 Интерпретация f(x) как обратного числа x^9 mod x^2 + 2
13:20 Повторение метода и связь с другими видео
15:10 Спасибо за Наблюдаю

#dogmathic #abstractAlgebra #polynomials #modularArithmetic #EuclideanAlgorithm #ringTheory #mathTutorial