Zweidimensionale Wellengleichung, allseitig eingespannte Membran (Folge 356)

Wie lässt sich die zweidimensionale Wellengleichung, am Beispiel der allseitig eingespannten rechteckförmigen Membran mit vorgegebenen Rand- und Anfangsbedingungen, mithilfe der Separationsmethode beziehungsweise des Produktansatzes von Fourier und Bernoulli lösen?


Dipl. Physiker Dietmar Haase zeigt in diesem Video, wie sich mithilfe der Separationsmethode die zweidimensionale Wellengleichung, am Beispiel der allseitig eingespannten rechteckförmigen Membran, lösen lässt. Durch Vorgabe geeigneter Randbedingungen entstehen für die Ortsgleichungen jeweils
Randeigenwertprobleme, welche nur für negative Eigenwerte nichttriviale Lösungen besitzen. Weil die zweidimensionale Wellengleichung eine lineare partielle Differenzialgleichung ist, gilt auch hier das Superpositionsprinzip. Das heißt, dass sich die Lösung der zweidimensionalen Wellengleichung als Summe der
unendlich vielen Eigenschwingungen der Membran zusammensetzt. Desweiteren wird erklärt, was man unter den Moden beziehungsweise Schwingungsmoden der rechteckförmigen Membran versteht und insbesondere warum die Lösungen der zweidimensionalen Wellengleichung, im Fall der allseitig eingespannten rechteckförmigen Membran, stehende Wellen sind.

Eine Vielzahl von Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu diesem Thema finden Sie im Lehr- und Übungsbuch ”Angewandte Mathematik für Ingenieure” Band 13: Partielle Differenzialgleichungen

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