Eindimensionale Wellengleichung (Folge 354)

Wie lässt sich die eindimensionale Wellengleichung, am Beispiel der beidseitig eingespannten Saite mit vorgegebenen Rand- und Anfangsbedingungen, mithilfe der Separationsmethode beziehungsweise des Produktansatzes von Fourier und Bernoulli lösen?


Dipl. Physiker Dietmar Haase zeigt in diesem Video, wie sich mithilfe der Separationsmethode die eindimensionale Wellengleichung, am Beispiel der beidseitig eingespannten Saite, lösen lässt. Durch Vorgabe geeigneter Randbedingungen entsteht für die Ortsgleichung ein Randeigenwertproblem, welches nur für negative Eigenwerte nichttriviale Lösungen besitzt. Weil die eindimensionale Wellengleichung eine lineare partielle Differenzialgleichung ist, gilt auch hier das Superpositionsprinzip. Das heißt, dass sich die Lösung der eindimensionalen Wellengleichung als Summe der unendlich vielen Lösungen des zugehörigen Randanfangswertproblems zusammensetzt. Desweiteren wird erklärt, was man unter einer
Eigenschwingung, einer Grundschwingung und einer Oberschwingung versteht und insbesondere warum die Lösungen der eindimensionalen Wellengleichung, im Fall der beidseitig eingespannten Saite, stehende Wellen sind.

Eine Vielzahl von Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu diesem Thema finden Sie im Lehr- und Übungsbuch ”Angewandte Mathematik für Ingenieure” Band 13: Partielle Differenzialgleichungen

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