Denklemler | I. ve II. Dereceden Denklemler | MATEMATİK | XDERS

I. VE II. DERECEDEN DENKLEMLER
• Cebire Giriş
• Birinci Dereceden Denklemler
• Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
• Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
• Yok Etme Metodu
• Yerine Koyma Metodu
• Birinci Dereceden Çok Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
• İkinci Dereceden Denklemler
• İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Bulunması


Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Daha önceden öğrenilmiş özdeşlikleri kullanabilecek,
• Birinci ve ikinci dereceden denklemleri çözebileceksiniz.

GİRİŞ
Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bir bağıntıdır ve araya “ = ” işareti konularak ifade edilirler. Denklemlerde eşitlik, değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin her değeri için sağlanan eşitliklere ise önceki konumuzda da belirttiğimiz gibi özdeşlik denir.
x-5=3 denklemini inceleyecek olursak, bu denklemde x değişkeni yerine istediğimiz her sayıyı değil, sadece x=8 sayısını yazdığımızda sağlandığından bu bir özdeşlik değildir. Buradan “her özdeşlik bir denklemdir; fakat, her denklem bir özdeşlik olmayabilir” sonucunu da çıkarabiliriz. Biz bu konumuzda bize verilen denklemi (veya denklemleri) sağlayan değişkenleri bulmayı öğreneceğiz.

Öncelikle denklem çözümünde kullanılabilecek yollardan bahsedelim.
• Bir denklemin bir tarafındaki terim işaret değiştirerek diğer tarafa geçebilir.
• Bir denklemin bütün terimlerinin işareti aynı anda değişirse denklem bozulmaz.
• Bir denklemde eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya aynı sayı çıkarılabilir. (bunu dengede olan bir terazinin iki kefesi gibi düşünebilirsiniz, aynı ağırlıkları ekler veya çıkarırsak denge bozulmaz)
• Bir denklemin iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir ve sıfırdan farklı bir sayı ile bölünebilir.
• Kesirli denklemlerin çözümünü yaparken öncelikle paydaların en küçük ortak katı bulunur ve paydalar bulunan sayıda eşitlenir. Denklemin her iki tarafını bu ortak payda ile çarparak paydadan kurtarırız.

P(x) bir fonksiyon olmak üzere, P(x) = 0 ifadesine denklem denir. P(x) = 0 denklemini sağlayan x sayılarına denklemin kökleri (çözümleri), kökleri bulma işlemine denklem çözme, denklemin köklerinin kümesine ise çözüm kümesi denir.


BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler:
a ve b gerçel (reel) sayılar ve a≠0 olmak üzere, ax+b=0 biçimindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir ve x-değişkeninin üssü 1 olduğundan birinci dereceden denklem ismini almıştır. Eğer bu denklemde x² li ifade olmuş olsaydı bu denkleme ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem diyecektik.
ax+b=0 denkleminde a sayısına x’in katsayısı, b ye ise sabit terim denir. Burada bizden istenen x-değişkeninin (yani kökün) ne olabileceğidir.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler:
a, b ve c gerçel (reel) sayılar ve a≠0 , b≠0 olmak üzere, ax+by=c gibi içinde x ve y değişkenini bulunduran eşitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi ax+by+c=0 şeklinde de gösterebilirdik.

İki Bilinmeyenli Denklemlerin Çözüm Yolları:
Denklem sistemini çözmek için yok etme, yerine koyma, karşılaştırma gibi yöntemler kullanılabilir.

Birinci Dereceden Çok Bilinmeyenli Denklem Sistemleri:
Verilen denklem sisteminin çözülebilmesi için; en azından bilinmeyen sayısı kadar denklem (yada eşitlik) olmalıdır. Örneğin; 3 bilinmeyenli bir denklem sisteminden bahsediyorsak bu sistemi çözebilmemiz için en azından elimizde 3 denklem olması gerekir.
Eğer 3 bilinmeyenli bir denklem sistemi bize 2 denklem ile verilirse, bu tarz sorularda muhakkak 2 bilinmeyen aynı anda yok olur ve bize sorulan üçüncü bilinmeyen bulunmuş olur.

İkinci Dereceden Denklemler
a, b ve c gerçel (reel) sayılar ve a≠0 olmak üzere ax²+bx+c=0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemdeki x’e bilinmeyen, a, b, c reel sayılarına katsayılar ve c sayısına sabit denir.

İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Bulunması
Çarpanlara ayırma konusunda ax²+bx+c=0 üç terimlisinin köklerinin veya çözüm kümesinin çarpanlarına ayrılarak bulunabileceğini görmüştük. Ama bu yöntem, x in köklerinin kesirli ve köklü olduğunda çok kullanışlı olmayabilir. Bu ünitede ise kökleri bulmanın bir başka yolunu göstereceğiz.